非线性系统中随机响应的计算方法

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1、非线性系统中随机响应的计算方法姓名：李振伟学院：机械与动力工程学院学号：1080209105【摘要】非线性结构随机振动响应分析的研究有着广泛的工程背景和重要的理论意义与学术价值。但由于该问题的研究难度很大，迄今为此还没有一个普遍适用的方法，已有的研究大多针对单自由度或很少自由度，且限于平稳随机过程的近似计算。因而开展非线性系统非平稳随机响应的计算方法研究并提高近似计算的精度很有必要。本文主要给出了求解在高斯白噪声激励下，非线性系统非平稳随机响应的一种方法:即将确定性微分方程中进行有效的Runge-Kuta算法，成功地推广到随机激励下非线性非平稳随机响应的计算。先将非线性系统统计线性

2、化，为考虑等效线性化系统的时变性，再假设等效线性化参数在一系列微小时间间隔内保持不变，而在这些微小时间间隔的分界点突然改变，用Runge-Kuta法得到了系统响应的递推关系.【关键词】噪声激励，振子，Runge-Kutta法，高阶线性化法。【引言】振动现象可分为两大类:确定性振动与随机振动。确定性振动是指那些运动时间历程可以用确定性函数来描述的振动。随机振动则不同，需要借助统计特性来描述。确定性振动的研究已经逐渐趋于成熟，由于非线性因素在任何振动系统中都不同程度的存在，这些非线性因素来自系统的物理、几何、耗散以及运动等方面，而由于激励、结构特性等的随机性，使工程实际中存在着大量的随

3、机问题，因而非线性随机振动的研究和工程应用是当前振动研究领域中一个重要而又令人注目的研究方向。随着科学技术的发展，非线性随机振动已从经典的分析方法逐渐走向理论利用和数值分析之路。实际工程中，几乎所有机械系统都在某种程度上呈现出非线性性态。系统的非线性可以表现为非线性恢复力，非线性阻尼或非线性惯性。在很多场合下，对系统进行线性分析，往往就能满足实际工程的需要;但随着工程要求的提高，对系统的本质非线性现象，如跳跃，自激振动，混沌等，再用用线性理论预测其随机响应，往往会得出错误的结论。因此，研究非线性系统的随机振动，发展预测非线性系统响应的方法，揭示非线性系统在随机扰动下可能发生的现象，

4、具有十分重要的意义。上世纪60年代初，非线性系统随机振动的研究开始受到重视，伊藤随机微分方程及其解过程的Narkov特性得到应用，FPK方程法发展成了非线性随机反应分析的一种精确方法。同时随机滤波理论也有了发展。由于FPK方程法可以直接求解反应的概率推移密度函数，具有理论上的完美性，引起了众多研究者的兴趣。但是，滞后系统，特别是多自由度系统的FPK方程求解至今仍未找到合适的方法.从工程应用的需要出发，上世纪70,80年代发展和完善的各种滞后特性的微分表达式，使得应用一些近似解法求解滞后系统地震反应成为一个热点。近30年来，非线性随机振动已经成为随机振动理论研究的重点。在众多学者的长

5、期努力下，己发展了许多预测非线性随机响应的方法，主要是FPK方程方法，还有一类是从确定性非线性振动理论方法推广而来的，包括等效线性化法、摄动法等等。随机平均法是上述两者结合的产物。此外，还有等效非线性系统法，矩函数微分方程法及各种截断方案，拟静态法，维纳一埃尔米特展式法，以及数字模拟法等。在发展预测非线性系统随机响应的同时，学者们也对一些经典的非线性系统的随机响应作出研究。其中研究最多的是杜芬振子，范德波振子及滞迟系统。通常是假定在没有随机激励时非线性系统处于稳定的平衡状态，所研究的是在小随机干扰下偏离这个平衡状态的随机振动。虽然目前已经有许多预测非线性系统随机响应的方法，但没有一

6、个是十分满意的，尤其是对多自由度系统。在对随机扰动下非线性系统的定性性态方面，了解甚少，特别在系统存在本质非线性现象时。因此，非线性系统随机振动仍然是今后一个重要而困难的研究课题。【本文主旨】本文结合Runge-kuta解法，给出了一种计算非线性系统随机激励下非平稳响应的方法。该方法是基于在确定性微分方程中行之有效的数值积分—Runge-Kuta法。为考虑等效线性化参数的时变性，本文假设在一系列微小时间间隔内，等效线性化参数保持不变，而在这些微小时间间隔的分界点上突然改变，这可以看作参数连续变化的一种近似。然后将用上述方法计算得到的结果与Monte-Carlo法所得结果进行比较，验

7、证该方法的精度及适用性。【建模及计算】1.Runge-kutta法简介：Runge-kutta是常微分方程数值解法中比较常用的一种方法。设有如下一阶常微分方程的初值问题：dy=ftu(,)dty()t00=y（2-1）其中，f和y为t的已知函数，y为给定的初值。0N=4阶Runge-kutta方法的一般形式为hl(22)+++lll1234yy=+nn+16（2-2）其中：lf=(,)ty1nnhhlf=++(,tyl)21nn22hhlf32=++(,tnnyl)2