基于积极集技术求解无约束极大极小问题的摄动sqp方法_简金宝new

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1、高校应用数学学报2013,28(1):107-114基于积极集技术求解无约束极大极小问题的摄动SQP方法简金宝*1,2,石露
,唐春明
(1.广西大学数学与信息科学学院,广西南宁53004;2.玉林师范学院数学与信息科学学院,广西玉林53700)摘要:讨论无约束极大极小(minimax)问题,基于积极集识别技术,结合摄动的序列二次规划(SQP)方法,建立问题的一个数值方法.在相当弱的条件下,算法具有弱全局收敛性,并对算法进行了初步的数值试验.关键词:极大极小问题;积极集识别;摄动SQP方法;弱全局收敛性中图分类号:0221.2文献标识码:A文章编号:1000一4424(201

2、3)01一0107一008号1引言考虑求解如下无约束极大极小问题min{F(x)=1llaX五(x),5.t.x任R几},(1)1

3、.1.4和算法7.2.6,基于:一积极约束集或转轴运算技术,借助于二次规划(QP)搜索方向子问题及广义投影修正技术,先后构建了问题(1)的全局收敛和超线性收敛算法.文阵51也借助于SQP技术研究了minimax问题的有效数值方法.这些工作在收稿日期:2012一05一07修回日期:2013一01一30基金项目:国家自然科学基金(11271056:11171250);数学天元基金(11126341);广西自然科学基金(20llGXNSFD018022)*通讯作者,Email:jianjb@孕u,du.en;饥tp://jians召xu.edu
n108高校应用数学学报第28卷第1

4、期算法的全局收敛性分析中均要求QP子问题的二次项矩阵一致正定,这是个相对较强的条件.针对带不等式约束的光滑优化问题,文同提出了一个摄动的可行序列二次约束二次规划算法,算法在不需要矩阵一致正定的条件下具有弱全局收敛性,但其所有不等式约束均参与搜索方向子问题构造,这使得子问题规模大,求解成本高.文!7
提出了一般约束minimax问题的积极集精确识别技术.本文将基于文同中的摄动技术和文闭中的积极约束集识别技术,借助文网的基本思想,提出问题(1)的一个摄动SQP方法.互2算法描述对于问题(l),其稳定点条件如下:艺从军人(x)一0,艺从一
入,(人(x)一F(x))=O,入:全
,

5、乞任了.(3)乞任I若(产,户)满足以上条件,则称其为问题(1)的稳定点对,护为问题(1)的稳定点.为便于讨论,首先引入以下记号,其中x任R
:I(x)={乞
I:关(x)=F(x)},f(x)=(关(x),乞任I),入=(入乞,乞任I),(4)几到x,习=又入*军关(x),g*(x)=甲关(x),乞任I.乞任I假设2.1函数人(x)作任刀在R
上一阶连续可微.根据文门和问题(1)的稳定点条件,定义稳定点识别函数砰了.es.l
/
匹侧x,习

产
.少l了
X八一忍凡一
}夕(x,入)=}}少(x,久)}}
.(5)min{尸(x)e一f(x),入}/其中
=(1,
,1)

6、T任Rm,
(0,1).显然,p(x,入)是问题(l)的一个最优识别函数,即(x*,入,)是问题(l)的一个稳定点对当且仅当风x*,入
)=0.基于文
7!,考虑以下积极集识别:I(x,入(x))={乞任I:人(x)一F(x)+户(x,入(x))全0}(6)根据文网的定理3.4,在适当的条件下,当(护,久
)充分靠近稳定点对(尹,久*)时,I(x,入(对)是积极集I(x*)的精确识别,即I(砂,入
)三到x
).对于当前迭代点护,相应的乘子从x
)为上一次迭代产生的乘子,因此不会增加额外的计算量.对当前迭代点护任R
,以及对应的识别集I(护
入(护)),求解以下子问题以产生

7、搜索方向d儿::+告尹(从+:
风风(7)关(xk)一F(x儿)+
乞(xk)Td三:,乞任八全I(x天,入(x大))简金宝等:基于积极集技术求解无约束极大极小问题的摄动SQP方法109其中从任R
x
是对称半正定矩阵,En是n阶单位矩阵,以是正的摄动参数,保证从+魏风的正定性.问题(7)的KKT条件为:(Hk+:
En)dk+E入犷
(xk)=0,又入全=1,乞任I无2任I丸(8)九(xk)一F(x无)+
(二k)T以无三:
,入全全0,注八,入季(人(xk)一F(x
)+
,(x
)Tdk-翔)