基于有限元分析的特征值反问题求解的逆摄动方法.pdf

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1、第18卷第1期计算力学学报Vol.18No.12001年2月C~INESEJOURNALOFCOMPUTATIONALMEC~ANICSFba2001文章编号:1007-4708(2001D01-0048-07基于有限元分析的特征值反问题求解的逆摄动方法苗玉彬,滕弘飞,丁金华,屈福政(大连理工大学机械工程学院,大连116024;中科院现代制造CAD/CAM技术开放实验室,沈阳110003D摘要:本文研究特征值反问题的求解方法G根据广义特征值反问题理论和有限元法的特点,以转子系统平面梁单元有限元模型结构分析的特征值反问题求解

2、为例,给出一种新的逆摄动方法G给出了本逆摄动法较完整的理论基础;给出了其逆摄动参数的显式计算公式及相应的取值方法G本逆摄动法也可推广到其他单元类型的有限元模型特征值反问题的求解G关键词:特征值;反问题;摄动;算法/逆摄动中图分类号:T~122文献标识码:A1前言在机械或工程结构的设计中,经常要求结构满足指定的自然频率或避开指定的频率禁区,并且往往还要求结构的重量最小或变化最小G结构的自然频率或特征值通常是利用刚度阵和质量阵它们是诸如单元截面积单元长度等一系列参数的函数计算得到的G特征值反问题就是要确定这些参数来获得指定的特

3、征值G下面给出特征值反问题的数值定义G设A(xD由下式求得:nA(xD=A0+xiAi(1Dz=1其中,xRn,{Ai}是n阶实对称阵G另设实数1(xDn(xD为A(xD的特征值G特征值的求解是根据广义特征方程K/j=jM/j,=1,2,,m(2D其中:K为刚度阵;M为质量阵;/为特征向量;为特征值;下标为特征值的阶数Gjj于是特征值反问题定义为给定实数/%%求xRn使得%1/n,i(xD=i,z=1,2,,n.特征值反问题的求解目前有如下三类方法:%a.数学优化方法:将方程(2D的求解作为一个数学优化问题来求解,目标函数

4、是,用数学优化方法寻优求解[1~4]G[5,6]b.结构矩阵摄动法:根据摄动理论,方程(2D的解可表示为摄动参数的解析函数,如下式2/=/0+/1+/2+(3D2/=/0+/1+/2+}如果知道了初始系统的振型/和特征值根据式(3D可方便地计算出新的特征值00,j.c.敏度分析法:敏度分析研究结构动态特性对结构参数的敏感程度,通过求解特征值对设计变量的梯度值来决定摄动哪些结构参数,并给出摄动方向[7,8]Ga方法求解过程需反复迭代,每次迭代需重新分析KM,计算繁复;b方法求解的每次失代过程需给出摄收稿日期:1-07-10.

5、基金项目:国家自然科学基金资助(批准号:5675041D.作者简介:苗玉彬,男,(173-D,博士生.1期苗玉彬等基于有限元分析的特征值反问题求解的逆摄动方法4动参数E,无需重分析,但是每次迭代的摄动参数E一般无法准确给出;C方法虽能给出摄动方向,但不能相应给出参与摄动的设计变量的摄动幅值O文针对转子系统,根据广义特征值反问题理论,提出根据给定逆求设计变量X的思想方法,称之为逆摄动法O而文1对此加以改进,用于解决一类转子系统的带频率禁区的有限元优化设计问题O但文,1未给出一般性计算公式及较完整的理论基础O本文与a方法根本不

6、同之处在于不是用优化的反复迭代办法求解摄动参数E,而是结合有限元分析模型,推导出一个直接计算摄动参数E的解析公式,这样会避免反复迭代,避免重复分析,显著地提高计算效率;本文与b~C方法不同之处在于可以给出摄动参数E的估值O在此基础之上,本文给出了逆摄动法的较完整的理论基础,并以转子系统梁单元为例,给出摄动参数E的计算公式及取值方法O2逆摄动法的理论基础根据式(2)得特征值的频率梯度公式TT8/j/8Iz=/j8K/8Iz/j-/j/j8M/8Iz/j(4)近似有TTA/j=/jAK/j-/j/jAM/j(5)其中A/分别为

7、/的增量,下标j为特征值的阶数OI为第z个设计变量,z=1,2,~,n.利用j,AK,AMj,K,Mz有限元分析模型,可寻找出设计变量X或E与K,M的函数关系O以弯曲振动转子的平面梁单元的有限元分析模型为例,设计变量为X分别代表轴截面,单元长度和支承刚度),加以说明Os,Xl,Xh(Xs,Xl,Xh当只取转子系统的轴截面X为设计变量时,存在以下关系式K=X2其中K为不依ssKs,M=XsMs,s,Ms赖于设计变量的常数矩阵O当取转子系统的轴截面X以及转子单元长度X为设计变量时,转子的平面梁单元刚度阵可分解为sl3312/I

8、Z12/IZ26/IZ4/IZ6K=E1=E1-32333-12/IZ-6/IZ12/IZ-12/IZ12/IZL22L6/IZ2/IZ-6/IZ4/IZ26/IZ4/IZ666E1-E1=X2K13-K22-K32SEXZXZXZJ(6)-6/IZ22L2/IL6/IZ-6/IZZ4/IZ其中K6为单