概率论与数理统计3

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1、习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：X0123Y101111321110Ci××=Ci××=3/833222822231001111××=822282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：X0123Y0002231CCi3CCi23232==44C35C35771011221131

2、CCCii6CCCii12CCi232232232===444C35C35C357772P(0黑,2红,2白)=121220CCCii6CCi33223222414=4=CC/C2i27=C735C735353.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为⎧ππ⎪sinxsiny,0≤x≤0,≤y≤F（x，y）=⎨22⎪⎩,0其他.⎧πππ⎫求二维随机变量（X，Y）在长方形域⎨0

3、1ππππππ=sinisin−sinisin−sin0sini+sin0sini4346362=(31).−4题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度−3(x+4y)⎧Ae,x>,0y>,0f（x，y）=⎨⎩,0其他.求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.+∞+∞+∞+∞A-(3x+4)y【解】（1）由∫∫fxyxy(,)dd=∫∫Aeddxy==1−∞−∞0012得A=12（2）由定义，有yxFxy(,)=∫∫fuvuv(,)dd−∞−∞yy

4、⎧−(3u+4)v−3x−4y⎪∫∫12edduv⎧(1e−)(1e−)y>0,x>0,=⎨00=⎨⎪⎩0,⎩0,其他(3)P{0≤X<1,0≤Y<2}=P{0

5、=∫∫k(6−−xyyx)dd=8k=1,−∞−∞021故R=813（2）PX{<1,Y<3}=∫∫fxyyx(,)dd−∞−∞1313=∫∫k(6−−xyyx)dd=0288(3)PX{<1.5}=∫∫fxyxy(,)dd如图a∫∫fxyxy(,)ddx<1.5D11.54127=∫dx∫(6−−xyy)d=.02832(4)PX{+Y≤4}=∫∫fxyxy(,)dd如图b∫∫fxyxy(,)ddXY+≤4D224−x12=∫dx∫(6−−xyy)d=.0283题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均

6、匀分布，Y的密度函数为−5y⎧5e,y>,0fY（y）=⎨⎩,0其他.求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为⎧1⎪,00,f()y=⎨Y⎩0,其他.所以fxyXY(,),独立f()xfi()yXY⎧1−5y−5y⎪×5e⎧25e,00,=⎨0.2=⎨⎪0,⎩0,其他.⎩−5y(2)PY(≤X)=∫∫fxyxy(,)dd如图∫∫25eddxyyx≤D0.2x0.2

7、-5y−5x=∫0dx∫025edy=∫0(5e−+5)dx-1=e≈0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为−4x−2y⎧1(−e)(1−e),x>,0y>,0F（x，y）=⎨⎩,0其他.求（X，Y）的联合分布密度.2−(4x+2)y∂Fxy(,)⎧8e,x>0,y>0,【解】fxy(,)==⎨∂∂xy⎩0,其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为⎧4.8(2y−x),0≤x≤1,0≤y≤x,f（x，y）=⎨⎩0,其他.求边缘概率密度.+∞【解】f()x=fxyy(,)dX∫−∞x⎧⎪4.8(2y−xy)d

8、⎧2.4x2(2−x),0≤≤x1,=⎨∫0=⎨⎪⎩0,⎩0,其他.+∞f()y=fxyx(,)dY∫−∞1⎧2⎪∫4.8(2y−xx)d⎧2.4(34y−y+y),0≤y≤1,=⎨y=⎨⎪⎩0,⎩0,其他.4题8图题9图9.设二维随