概率论与数理统计(3)

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1、习题三1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率.【解】如图16题

2、3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。4.设随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)=求:(1)常数A;(2)随机变量(X,Y)的分布函数;(3)P{0≤X<1,0≤Y<2}.【解】(1)由得A=12(2)由定义,有(3)5.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}.【解】(1)由性质有16故(2)(3)(4)题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为fY(y)

3、=求:(1)X与Y的联合分布密度;(2)P{Y≤X}.题6图【解】(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为而16所以(2)7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求(X,Y)的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】16题8图题9图9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】题10图10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度.【解】(1)得

4、.(2)1611.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).题11图【解】所以1612.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)求X与Y的联合概率分布;(2)X与Y是否相互独立?【解】(1)X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2)因故X与Y不独立13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03(1)求关于X和关于Y的边缘分布

5、;(2)X与Y是否相互独立?【解】(1)X和Y的边缘分布如下表XY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.3816(2)因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)=(1)求X和Y的联合概率密度;(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.【解】(1)因故题14图(2)方程有实根的条件是故X2≥Y,从而方程有实根的概率为:15.设X和Y分别表示两个不同电子

6、器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f(x)=16求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1)当z≤0时,(2)当0

7、互独立的随机变量,其分布律分别为P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=,i=0,1,2,….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以于是18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,…,2n.16方法二:设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则X=μ1+μ2+…+μn,Y

8、=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.19.设随机变量(X,Y)的分布律为XY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.06

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