概率论与数理统计笔记3

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1、第三章、多维rv及其分布第一节多维rv及分布函数一、多维rv定义：设是样本空间上的随机变量，则向量X=（）称为n维rv注：1.二维rv（X，Y）2.二维rv（X，Y）的几何意义，平面内随机点的坐标二、联合分布函数定义：设（X，Y）为二维rv，则二元实值函数，,称为（X，Y）的联合分布函数注：1.定义式子2.的几何定义，图形中平面点集G的面积3.的性质性质1.分别关于的单调递增的性质2.，性质3.==1==0==0==0==三、边缘分布函数定义：假设二维rv（X，Y）的联合分布函数为，则r，v，X当Y的概率分布函数分别称为（X，Y）关于X及Y的边缘分布函数则==同理可得==四、独立性P

2、（AB）=P(A)P（B）P（A

3、B）=P(A)=*=*定理：=*相互独立第二节二维离散型r.v.一、概念定义：若存在可列集B,使P{(X,Y)}=1，则称（X,Y）为二维离散型r.v[注]：1.（X,Y）为离散型X,Y一定为离散型2.二维离散型r.v取值的点的特征二、联合分布列定义：设（X,Y）为二维离散型r.v，取值为{（）}，i，j=1、2……，则=()，i，j=1,2……称为二维r.v（X,Y）的联合分布列[注]：1.非负性，i，j=1,2……归一性2.联合分布列3.求联合分布列的步骤Step1.确定所有可能的点Step2.计算两个点所对应事件的概率例：将手感完全相同的三个小

4、球，放入编号为1，2，3的三个盒子中，X表示1号盒子中球的个数，Y表示2号盒子中球的个数，求（Z,Y）的联合分布列解：=P（X=i,Y=j）=P(Z=i)P(Y=j)i,j=0、1、2、3i+j3而Z~B(3，)，所以P(Z=i)=在Z=i的条件下，Y~B(3—i，)，所以P={(Y=j}=所以i,j=0,1,2,3i+j34.F(x,y)=P(Xx，Yy)=三、边缘分布列定义：设二维r.v(Z,Y)的联合分布列为i、j=1,2，……，则r.vZ和Y的概率分布列分别称为（Z,Y）关于Z及Y的边缘分布列记作：i=1,2……同理：例：设-10101000-1010.50.5且P{XY=0

5、}=1，求（X,Y）的联合分布列分析P(XY0)=0=P(Z=-1，Y=1)+P(Z=1，Y=1)因为P(X=-1，Y=-1)0P(X=1,Y=1)0所以P(Z=-1，Y=1)=0P(X=1，Y=1)=0四、独立性定义：设（Z,Y）的分布律满足P(Z=)=P()P()即i，j=1、2……，则称r.vZ与Y相互独立例：设若X和Y相互独立，求a.b.c解:由归一性得a+b+c+++=1即a+b+c=(1)由Z与Y相互独立P(Z=，Y=)=P(Z=)P(Y=)即a=（a+）（a++c）（2）同理P()=P()P()即b=(+b)(+b+)（3）五、条件分布列定义：设（X，Y）的联合分布列为

6、=，X的边缘分布列为，则称（0）为在X=的条件下，Y的分布列。定义：设为X=的条件下Y的条件分布列，则称为X=的条件下，Y的条件分布函数，且例：设XY-10100.200.3100.50求X=-1的条件下Y的条件分布。解：Y0110X=-1的条件下，Y的分布列为①当y<0时，=0②当0y<1时，=③当y1时，例：设某汽车站上客的人数X服从参数为的泊松分布（），每位乘客在中途下车的概率为p(0

7、定义：若存在一非负可积函数f(x,y)，使得对一切,有，则称（x,y）为二维连续型r、v，f(x,y)称为（x,y）的联合密度函数。注：1、非负性归一性2、若G可度量面积，则，若G不可度量面积，则3、F(x,y)分别对x,y连续4、在f(x,y)的连续点处有二、边缘密度定义：设二维r、v(x,y)的联合密度为f(x,y),则r、v、x或r、v、y的概率密度函数或，称为（x,y）关于x（或y）的边缘密度函数。分析：由同理：。例：设,求：（1）、常数c（2）、p{x+y<1}（3）、解：(1)由，及，c=4(2)设则则=（3）当x>0时，所以例2：，求解:当故当所以三、条件密度定义：设对

8、>0，有>0，若极限存在，则称该极限为Y=y的条件下，r.v.X的条件分布函数，记作[分析]：====若f(x,y)及为连续函数，则==定义：设（X,Y）的联合密度为f(x,y)，r.v.Y的边缘密度为>0,在f(x,y)及的连续点处有，称为Y=y的条件下r.v.X的条件密度四、独立性定理：设f(x,y),及处处连续，则X与Y独立的充要条件是f(x,y)=或==五、常用的分布1、二维均匀分布2、二维正太分布第四节多维r.v.函数的分布结论：随机变量Z=g(