概率论与数理统计笔记3

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1、第三章、多维rv及其分布第一节多维rv及分布函数一、多维rv定义:设是样本空间上的随机变量,则向量X=()称为n维rv注:1.二维rv(X,Y)2.二维rv(X,Y)的几何意义,平面内随机点的坐标二、联合分布函数定义:设(X,Y)为二维rv,则二元实值函数,,称为(X,Y)的联合分布函数注:1.定义式子2.的几何定义,图形中平面点集G的面积3.的性质性质1.分别关于的单调递增的性质2.,性质3.==1==0==0==0==三、边缘分布函数定义:假设二维rv(X,Y)的联合分布函数为,则r,v,X当Y的概率分布函数分别称为(X,Y)关于X及Y的边缘分布函数则==同理可得==四、独立性P

2、(AB)=P(A)P(B)P(A

3、B)=P(A)=*=*定理:=*相互独立第二节二维离散型r.v.一、概念定义:若存在可列集B,使P{(X,Y)}=1,则称(X,Y)为二维离散型r.v[注]:1.(X,Y)为离散型X,Y一定为离散型2.二维离散型r.v取值的点的特征二、联合分布列定义:设(X,Y)为二维离散型r.v,取值为{()},i,j=1、2……,则=(),i,j=1,2……称为二维r.v(X,Y)的联合分布列[注]:1.非负性,i,j=1,2……归一性2.联合分布列3.求联合分布列的步骤Step1.确定所有可能的点Step2.计算两个点所对应事件的概率例:将手感完全相同的三个小

4、球,放入编号为1,2,3的三个盒子中,X表示1号盒子中球的个数,Y表示2号盒子中球的个数,求(Z,Y)的联合分布列解:=P(X=i,Y=j)=P(Z=i)P(Y=j)i,j=0、1、2、3i+j3而Z~B(3,),所以P(Z=i)=在Z=i的条件下,Y~B(3—i,),所以P={(Y=j}=所以i,j=0,1,2,3i+j34.F(x,y)=P(Xx,Yy)=三、边缘分布列定义:设二维r.v(Z,Y)的联合分布列为i、j=1,2,……,则r.vZ和Y的概率分布列分别称为(Z,Y)关于Z及Y的边缘分布列记作:i=1,2……同理:例:设-10101000-1010.50.5且P{XY=0

5、}=1,求(X,Y)的联合分布列分析P(XY0)=0=P(Z=-1,Y=1)+P(Z=1,Y=1)因为P(X=-1,Y=-1)0P(X=1,Y=1)0所以P(Z=-1,Y=1)=0P(X=1,Y=1)=0四、独立性定义:设(Z,Y)的分布律满足P(Z=)=P()P()即i,j=1、2……,则称r.vZ与Y相互独立例:设若X和Y相互独立,求a.b.c解:由归一性得a+b+c+++=1即a+b+c=(1)由Z与Y相互独立P(Z=,Y=)=P(Z=)P(Y=)即a=(a+)(a++c)(2)同理P()=P()P()即b=(+b)(+b+)(3)五、条件分布列定义:设(X,Y)的联合分布列为

6、=,X的边缘分布列为,则称(0)为在X=的条件下,Y的分布列。定义:设为X=的条件下Y的条件分布列,则称为X=的条件下,Y的条件分布函数,且例:设XY-10100.200.3100.50求X=-1的条件下Y的条件分布。解:Y0110X=-1的条件下,Y的分布列为①当y<0时,=0②当0y<1时,=③当y1时,例:设某汽车站上客的人数X服从参数为的泊松分布(),每位乘客在中途下车的概率为p(0

7、定义:若存在一非负可积函数f(x,y),使得对一切,有,则称(x,y)为二维连续型r、v,f(x,y)称为(x,y)的联合密度函数。注:1、非负性归一性2、若G可度量面积,则,若G不可度量面积,则3、F(x,y)分别对x,y连续4、在f(x,y)的连续点处有二、边缘密度定义:设二维r、v(x,y)的联合密度为f(x,y),则r、v、x或r、v、y的概率密度函数或,称为(x,y)关于x(或y)的边缘密度函数。分析:由同理:。例:设,求:(1)、常数c(2)、p{x+y<1}(3)、解:(1)由,及,c=4(2)设则则=(3)当x>0时,所以例2:,求解:当故当所以三、条件密度定义:设对

8、>0,有>0,若极限存在,则称该极限为Y=y的条件下,r.v.X的条件分布函数,记作[分析]:====若f(x,y)及为连续函数,则==定义:设(X,Y)的联合密度为f(x,y),r.v.Y的边缘密度为>0,在f(x,y)及的连续点处有,称为Y=y的条件下r.v.X的条件密度四、独立性定理:设f(x,y),及处处连续,则X与Y独立的充要条件是f(x,y)=或==五、常用的分布1、二维均匀分布2、二维正太分布第四节多维r.v.函数的分布结论:随机变量Z=g(

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