概率论与数理统计笔记

《概率论与数理统计笔记》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章概率论的基本概念随机试验：1.可以在相同的条件下重复进行2.每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果3.进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S随机事件：试验E的样本空间S的子集，简称事件基本事件：由一个样本点（E的每个结果）组成的单点集频率：事件A发生次数和试验次数的比值nA/n，记作fn(A)概率：对事件A赋予实数，P(A)非负性，规范性，可列可加性性质iP(∅)=0.性质ii(有限可加性)若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，则有P(A1

2、⋃A2…⋃An)=PA1+PA2+…+P(An).性质iii设A,B是两个事件，若A⊂B,则有P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)≥P(A).性质iv对于任一事件A,P(A)≤1.性质v(逆事件的概率)对于任一事件A,有P(A)=1-P(A).性质vi(加法公式)对于任意两事件A,B有P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB).古典概型：样本空间只包含有限个元素，每个基本事件可能性相同A的对立事件A及其概率：也称逆事件两个互不相容事件的和事件的概率：两事件不能同时发生，概率的有限可加性概率的加法定理：P(AB)=P(A)+P(B)-

3、P(AB)条件概率：在事件A发生的条件下事件B发生的P(B

4、A)=P(AB)P(A).概率的乘法公式：P(ABC)=P(C

5、AB)P(B

6、A)P(A)全概率公式：PA=i=1nPABiP(Bi)Bi是试验E的S的划分，A为E的事件贝叶斯公式：PBiA=P(A

7、Bi)P(Bi)j=1nP(A

8、Bj)P(Bj),i=1,2,…,n.事件的独立性：P(AB)=P(A)P(B)，互相独立与互不相容不能同时成立设n个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率都等于各事件概率之积，则称n个事件相互独立实际推断原理：概率很小的事

9、件在一次实验中实际上几乎是不发生的第二章随机变量及其分布随机变量：设E的样本空间S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称随机变量分布函数：X是随机变量，x是任意实数，Fx=PX≤x,-∞

10、：f(x)性质：fx≥0;-∞∞fxdx=1伯努利试验：试验E只有两个可能结果：A及A（0-1）分布：PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1(000,&otherwise

11、,记为X～η(θ)均匀分布：fx=1b-a,&a0）是常数，记作X～N（μ，σ2）标准正态分布：X～N(0,1)，概率密度为φ(x)，分布函数为Φ(x)引理：若X～N(μ，σ2)，则Z=X-μσ~N(0,1)随机变量函数的分布：Y=g(X)，分布函数法（先求分布函数，再对分布函数求导）第三章多维随机变量及其分布二维随机变量（X，Y）：设X=X(e),Y=Y(e)是定义在样本空间S上的随机变量构成的向量（X，

12、Y）的分布函数：联合分布函数：Fx,y=PX≤x∩Y≤y≝P{X≤x,Y≤y}边缘分布函数：FXx=PX≤x=PX≤x,Y<∞=F(x,∞),FYy=F(∞,y)离散型随机变量（X，Y）的分布律：PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,…联合分布律连续型随机变量（X，Y）的概率密度：f(x,y)联合概率密度1.fx,y≥02.-∞∞-∞∞f(x,y)dxdy=F∞,∞=13.设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为Gf(x,y)dxdy.4.若f(x,y)在点(x,y)连续，则有∂2yF(x,y)∂x∂y=f(x,y)离

13、散型随机变量（X，Y）的边缘分布律：PX=xi=i=0∞pij,i=1,2,…,Y一样连续型随机变量（X，Y）的边缘概率密度：fXx=-∞∞f(x,y)dy,Y一样条件分布函数：