《概率论与数理统计》笔记

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1、《概率论与数理统计》笔记一、课程导读“概率论与数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类：确定性现象           随机现象Ø       确定性现象  在一定的条件下，必然会出现某种确定的结果．例如，向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为确定性现象（或必然现象）．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热；等等也都是确定性现象．Ø       随机现象  在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同

2、的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果．例如，抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上．我们把这类现象称为随机现象（或偶然现象）．同样，自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；射击运第14页**共14页动员一次射击，可能击中10环，也可能击中9环8环……甚至脱靶；等等也都是随机现象．Ø       统计规律性对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验

3、（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性．l      应用例子Ø      摸球游戏中谁是真正的赢家在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”： 结果（比数）A(8:0)B(7:1)C(6:2)D(5:3)E(4:4)奖金（

4、元）1010.50.2-2注：表中“-2”表示受罚2元第14页**共14页解：此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果．有4种可得奖．且最高奖达10元．而只有一种情况受罚．罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加．结果却是受罚的多，何以如此呢？其实．这就是概率知识的具体应用：现在是从16个球中任取8个．所有可能的取法为种．即基本事件总数有限．又因为是任意抽取．保证了等可能性．是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式．很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是：假设进行了1000次摸球试验，5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、3

5、81次，经营游戏者预期可得2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487)=593.6（元）．这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识.Ø      戏院设座问题第14页**共14页乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%? 解由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可。设甲戏院需设m个座位，定义 ，i=1,2,…,500 依题意，若用x表示选择甲戏院的观众总数，则，问题化为求m使因

6、为E(xi)=D(xi)=0.5,由中心极限定理近似地故，查标准正态分布表知，从而解得，即每个戏院至少应该设多少269个座位。各章的重点难点第一章事件与概率第14页**共14页l          古典概率l          全概率公式与贝叶斯公式(*)l          独立试验序列第二章离散型随机变量l          离散随机变量的概率分布l          分布函数l          常用分布：超几何分布H(n,M,N)、二项分布B(n,p)、泊松分布P(λ)l          随机变量的数学期望与方差的概念及性质第三章连续型随机变量l          连续随

7、机变量的概率密度、均匀分布U[a,b]、指数分布e(λ)、正态分布N(μ,σ2)l          分布函数l          二维随机变量的分布（联合分布）l          边际分布l          随机变量函数的数学期望l          常用分布的数学期望与方差l          相关矩与相关系数l          随机变量的和的分布l          切比雪夫不等式第14页**共14页第四章大数定律与中心极限定理l          大数定