09数值分析复习题

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1、第二章1求A的LU分解，并利用分解结果求_10241232692求证：非奇异矩阵不一定有LU分解3用追赶法求解如下的三对角方程组「42'6'3-21兀22253兀310-16_^4__5_4设A是任一〃阶对称正定矩阵，证明x=(xtAxV是一种向量范数A山「2.0001-1]「7.0003]〜—小”“皿小“r5设力二,b=,己矢口方程组Ax=b的精确解为x=(3,-1)-21—7(1)计算条件数Com/")/(2)若近似解壬=(2.97,—1.01)7',计算剩余F=b—依；(3)利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此

2、结果说明了什么？6矩阵第一行乘以一数成为力二"，证明当A=±一时，Cond(4)g有最小值117讨论用雅可比法和高斯■赛徳尔法解方程组Ax=b时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中「30-24021-21210Q08设/二bWb，求解方程组Ax=h,求雅可比迭代法与高斯■赛徳尔迭代法收敛的0q5充要条件。9设求解方程组Ax=b的雅可比迭代格式为二BM+/,其中伙=0丄2,・..)，求证:若圈<1,则相应的高斯■赛德尔法收敛。10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式_丫伙+i).丫伙)'x(A+l)=x(k)-coA(-)-b,a

3、)>0_2_求证：(1)对任意初始向量x®,{')}收敛；(2)[x(k)]收敛到Ax=b的解。第三章1设f(x)eC2[a.b]且/何=/©)=0.求证：max/(x)

4、)=cosx-p3(x)的估计式。5、将区间［-5,5］等距划分，节点为xk=-5+k—"=0,1,…/)n(1)做出/(X)=的分段线性插值多项式PhE1+jt(2)当〃为何值时，E(x)的插值误差不超过1CT4?6、利用差分及插值多项式为工具证明1・2+2・3Fn（n+1）=丄巾（巾+1）（刃+2）第四章1确定参数和c,使得积分/仏b,c）二J[V1-X2-^ax1+bx+1Vl-x2dx取得最小值，并计算该最小值.2对彗星1968Tentax的移动在某个极坐标系下有如表所示的观察数据.r2.702.001.611.201.02

5、48°67°83°108°126°假设忽略来自行星的干扰，坐标应满足P1-QCOS0其中P为参数，幺为离心率，试用最小二乘法拟合P和幺，并给出平方误差.3求函数/(兀)=cos〃x,xw［0,1］在指定区间上关于①=spm{l,x}的最佳平方逼近多项式.4、求。"使得+—加达到最小，并计算该最小值。5、4{^,(x)}；=0是［0,1］上带权p(x)=1的最高项系数为1的正交多项式，其屮％(兀)=1,求s(x)及fqk(x)dx,并用此正交多项式求!l'i/(x)=x推导以这3个点作为求积节点在［0,1］上的插值型求积公式;指明求积公式

6、所具有的代数精确度；用所求公式计算\2dxo在［0,1］上最佳平方逼近一次多项式。J0第五章1确定f：/(x)心£/(-力)+4/(0)+£/(力)中的待定参数，使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度。2计算积分I=^exdx,若复化梯形公式，问区间［0,1］应分多少等份才能使截断误差不超召X”？若改用复化辛普森公式，要达到同样精确度，区间应分多少等份？3确定求积公式「(兀-兀o)/⑴必=厲〃(％)+妙(xj］+/P［b(兀。)+0©)］+心/)屮的系数A,B,C,D,使代数精确度尽量高，并给出/?(/)的表达式。公式

7、中h=x］-x()o4已知Jr。二x13二，入5设/(x)gC5[x0-2h,xQ-^2h],h>0,xk=xQ+kh,fk=f(xk),£=0,±1,±2。求证:(1)•厂(x())=击[几--乙]+。(力4)(2)厂(叩二制力厂:人+川+讥/门6、已知］/(忙珂.//0.2丿+入/(0.5丿+wo®+wu+入〃1・2丿+入〃1.5丿+人/(1.8丿是插值型求积公式，证明它的代数精度不低于77.给定积分1(f)=打(工)dz.将区间［&,6j作4等分,并记召=a+ih.O^i<4tA=答“.写岀T,(/),T2(f),Ta(/),S,

8、(/)rS2(f)和CS并措出它们之间的关系•这里TW(/),SW1(/),CW(/)分别表示将［a,刃作m等分时的复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式.(11‘)第七章1对于迭代函数^