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时间:2019-03-03
《二阶矩阵与平面向量 综合检测 (2)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、综合检测(二)1.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F,求F的方程.【解】 设P(x0,y0)是椭圆上任意一点,点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0,y′0),则==,即∴又∵点P在椭圆上,代入得+y′=1,即x2+y2=1.∴曲线F的方程为x2+y2=1.2.若点A在矩阵M=对应的变换作用下得到点为B(1,0),求α的值.【解】 由题意知=,所以解得从而可知,α=2kπ-,(k∈Z).3.已知直线l与直线3x+5y+6=0平行,且过点(5,6),求矩阵将
2、直线l变成了什么图形?并写出方程.【解】 由已知得直线l的方程为3x+5y-45=0,设P(x,y)为l上的任意一点,点P在矩阵对应的变换下对应点P′(x′,y′).则==,∴∴代入3x+5y-45=0,得3x′+25y′-45=0,∴直线l变换成直线3x+25y-45=0.4.求直线y=2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式.【解】 设点(x,y)为直线y=2x上的任意一点,其在矩阵确定的变换作用下得到的点为(x′,y′),则→==,即所以将其代入y=2x,并整理得2x′-7y′=0,所以直线y=2x在矩阵确定
3、的变换作用下得到的图形的表达式是2x-7y=0.5.切变变换矩阵把直线x+y=1变成什么几何图形?【解】 设P(x,y)在该变换下的象为P′(x′,y′),则===,故所以切变变换矩阵把直线x+y=1变成与y轴平行的直线x=1.6.若曲线x2+4xy+2y2=1在矩阵M=的作用下变换成曲线x2-2y2=1,求a、b的值.【解】 设(x,y)为曲线x2+4xy+2y2=1上的任意一点,其在矩阵M的作用下变换成点(x′,y′),则(x′,y′)在曲线x2-2y2=1上,==,即将其代入x2-2y2=1,并整理,得(1-2b
4、2)x2+(2a-4b)·xy+(a2-2)y2=1,比较系数得解得7.点(2,2x)在旋转变换矩阵的作用下得到点(y,4),求x,y,m,n.【解】 因为矩阵是旋转变换矩阵,所以m=-,n=.由题意知=,所以解得8.二阶矩阵M对应的变换T将点(1,-1),(-2,1)均变为点(1,1).(1)求矩阵M;(2)直线l:2x+3y+1=0在变换T作用下得到什么图形?说明理由.【解】 (1)设M=,则由题设得=,且=,即解得所以M=.(2)设P(x,y)是l:2x+3y+1=0上任一点P′(x′,y′)是对应的点,则由==
5、,得即2x+3y=-x′=-y′.又2x+3y+1=0,所以x′=y′=1.故在l在变换T作用下变为点(1,1).9.求直线y=-2x+1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.【解】 =.设直线y=-2x+1上任意一点为(x0,y0),其在旋转变换作用下得到点(x′0,y′0),则=,即解得因为点(x0,y0)在直线y=-2x+1上,所以2x0+y0-1=0,所以2×(x′0+y′0)-(x′0-y′0)-1=0,整理得x′0+y′0-1=0.所以直线y=-2x+1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是x+y-1
6、=0.10.如图所示的是一个含有60°角的菱形ABCD,要使只变换其四个顶点中的两个顶点后,菱形变为正方形,求此变换对应的变换矩阵M.该变换矩阵惟一吗?若不惟一,写出所有满足条件的变换矩阵.【解】 由题设知AC∶BD=∶1.若只变换A,C两个顶点,则应把A,C两个顶点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变,于是变换矩阵为M=;若只变换B,D两个顶点,则应把B,D两个顶点的纵坐标伸长为原来的倍,横坐标不变,于是变换矩阵为M=.所以满足条件的变换矩阵M为或.
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