线性代数下09幂零变换与循环空间分解

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1、《线性代数2》杨晶第九讲幂零变换与循环子空间分解&正向搜索法12012年4月16日1上讲复习根子空间及其性质一、可对角化矩阵的“互异单根条件”：A可对角化m(x)=(x-λ)···(x-λ)A1s二、根子空间：m定义UV

2、,ms.t.()0性质1.U为子空间；λ性质2.U为σ不变子空间λ性质3.U≠{0}λ为σ的特征值.λ性质4.幂零变换,当时()

3、为U可逆变换,当时rr上讲复习性质5.设，mxx()()(1x)s则1srUKer()i(i1,2,...,)s

4、iirUKer()i证明思路.由定义得ii另一方面，用维数相等来说明，r设dimUldim(Ker)=ik，iiii先证UU为直和,即证对i≠j，UU{0}1sijss从而，VKer()riUViiii11ssnklnii;ii11kl()i■iikl()iii补充题1推论.属于不同特征值的根向量是线性无关的.本讲提要幂零变换与循环子空间分解&正向搜索法⑴一、根子空间分解定理二、幂零变换与循环子空间分解定理定义：幂零变换，循环变换，循环基，循环子空间

5、循环子空间分解定理三、幂零变换的正向搜索法根向量的高度各项数量关系幂零变换正向搜索法的步骤及流程图4作业:补1,补2,补3*下节内容:正向搜索法2&5约当标准形定理补充题1.设σ∈L(V),λ,…,λ为σ互异的特征值,取1s࢏ࣅ࢏(i=1,2,…,s),则{૚࢙}是线性无关的.补充题2.设σ∈L(V)为次数=l的幂零变换,p为满足r(σp)=r(σp+1)的最小正整数,t=dimKer(σi),(i=1,i2,…,l),则p=l,且pp1nr()r()()0,r0.tttn11pp补充题3.对幂零变换的正向

6、搜索法中，Step2中选出的pd个根向量与Step3中选出的(p-1)d个根向pp-1量组成的向量组，仍然是线性无关的.6