幂零矩阵和幂零变换性质附应用.docx

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1、幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.1[1]令为阶方阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.定义1.2[1]若为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数.定义1.3[3]设为一个阶方阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记为.定义1.4[5]形如的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.1[5]设为阶方阵，则.定理1.2[5]分别为矩阵的特征多项式和最小多项式，则有.定理1.3设为阶矩阵的特征值，则有，，且对任意的多项式有的特征值为.定理1.4阶若当块的最小多项式为且有.定理1.5为阶复数域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵，使得.定理1

2、.6任意阶方阵，有.定理1.7[5]阶复矩阵与对角矩阵相似的最小多项式无重根.定理1.8[5]每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵唯一决定的，它称为的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系.2幂零矩阵的性质性质2.1幂零矩阵的行列式值为零.性质2.2幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和次幂(为自然数)都是是幂零矩阵.性质2.3若为幂零矩阵，为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵.证明：因为为幂

3、零矩阵，则由定义1.1知存在使得，又因为，所以也为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.4若为阶幂零矩阵，则均为幂零矩阵，其中是的转置矩阵，是的伴随矩阵.证明：因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得，由定理1.1知，，，所以都为幂零矩阵，又因为，所以也为幂零矩阵.性质2.5若是幂零矩阵，且则1)2)3).证明：1）因为，所以.2)由1）类似可得.3)，所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6为幂零矩阵的充分必要条件是的特征值全为0.证明：（1）因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得，令为任意一个特征值，则存在，由定理1.3知，为的特征值，所以存在，从而有=0即有，又有，知

4、则，所以为的特征值，由的任意性知，的特征值为0.（2）因为的特征值全为0，的特征多项式为，由定理1.2知，所以为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7若为幂零矩阵且，则不可对角化但对任意的阶方阵,存在幂零矩阵，使得可对角化.证明：因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得且由性质2.6知的特征值全为零，为的特征多项式且，令为的最小多项式，则有，从而有，由于，又此时，即的最小多项式有重根，由定理1.7知不可对角化.又因为为阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵使得，其中阶数为，令阶数为，则有阶数为,由定理1.4知即为幂零矩阵现令，，，即，又因为为对角

5、阵，由（2.1）式知可对角化，令且取，则有，，即有可对角化且为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数.证明：（1）因为为幂零矩阵,所以的特征根全为0，由定理1.3知对任意的自然数有的特征值,所以.（2）设的特征根为,所以对任有(2.2),令为的不为0的特征值且互不相同，重数为由（2.2）式及定理1.3得方程组,由于方程组（2.3）的系数行列式为又互不相同且不为0，所以，从而知方程组（2.3）只有零解，即，即没有非零的特征值，所以的特征值全为0，则由性质2.6得为幂零矩阵，所以由（1）、（2）知原命题成立.性质2.9若为幂零矩阵，则非退化

6、.证明：令为的特征值，若退化则有，由定理1.3得所以至少存在为的特征值，又由定理1.3得为的一特征值这与为幂零矩阵矛盾，所以为非退化.性质2.10若为幂零矩阵，则一定不可逆但有.证明：因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得，所以，所以一定不可逆，由性质2.6得的特征值为，由定理1.3得的特征值分别为且有，，即，所以原命题成立.3幂零矩阵的应用3.1幂零矩阵的性质应用例3.1.1为阶方阵，为幂零矩阵且，则有.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵，使得，又因为为幂零矩阵由性质2.4知的特征值全为0，即，，，又因为可逆所以所以,由知为的特征值由定理1.3得：,从而得证，

7、则有.例3.1.2为阶方阵，求证，可对角化,为幂零矩阵且.证明：由性质2.7知存在幂零矩阵,使得可对角化,即存在可逆，使得,即有，由性质2.4知由于为幂零矩阵则也幂零矩阵，又因为与相似，所以可对角化，令，则有，可对角化，为幂零矩阵，又因为为对角阵所以.例3.1.3为阶方阵，且，证明：存在自然数.证明：由于，所以对任意的有由定理1.6推广可得：,,由性质2.6得为幂零矩阵，所以由定义知存在.所以原结论得证.例3.1.4在复数域上阶方阵相似于对角阵等价于对于的任一特征值，有与的秩相同.证明：因为对角化，则存在可逆矩阵，