分数阶微分系统的稳定性

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1、第一章绪论第一章绪论§1・1研究背景19世纪以来，随着数学的广泛应用和交叉学科的发展，各个科学领域中出现的问题越来越多地涉及分数微积分和分数微分方程.如：流体力学、流变学、生物学、控制理论、电分析化学、电路系统等等.这是因为人们发现引进分数阶积分、微分和分数阶微分方程可以更准确的描述、模拟实际现象.正因如此，研究分数阶微分方程是十分必要且有意义的.同时，系统的退化现象也是实际系统的普遍现象.从70年代开始，关于退化微分系统开始有所研究，所得结果越来越精确地描述了现实世界中的动力系统.首先提出研究退化动态系统问题的是H.H.Rosenbrock,他在讨论复杂的电网系统中，建立了退化的

2、微分系统，并对此作了比较系统的研究.接着，D.G.Luenberger发现动态投入产出系统是典型的退化系统.后来，s.L.Campbell的专著SingularSystemsofDifferentialEquations和Boyarinchev.U・E的SolutionofOrdinaryDifferentia1EquationofDegenerateSystem,非常系统地总结了退化微分系统方面的许多论文的主要结果，已经成为退化微分系统的经典论著.我国学者戴立意的专著SingularControlSystem,也比较全面的集中了广义控制系统的诸多论文的精华.而控制理论研究如何改进

3、动态系统的性能以达到所需目标，这个广义定义包含了人类活动的许多方面.控制理论试图以定量方式描绘这些问题，并集中寻求一些精确的数学描述方法.控制理论有着广阔的实际应用背景：航天系统、电力系统、医疗系统、建筑工程、工业应用等等.对控制理论的研究有着重大的实践意义.特别地，稳定性作为控制系统最重要的特性（因为不稳定的系统是无法完成预期控制任务的），判别一个系统是否稳定就显得十分重要.在上述许多实际系统中，我们注意到，要对其准确的表述，有时必需同时考虑多种现象.蒋威教授的《退化、时滞微分系统》就是把退化现象和时滞影响同时考虑T.在此启发影响下，本文在戴立意的SingularControlS

4、ystem基础上将其研究的系统由整数阶微分系统推广到分数阶上，讨论的是分数阶，尤其是退化的分数阶微分系统的有关控制理论问题和稳定性问题.§1.2主要研究内容本文主要考虑退化的分数阶微分系统E・°D占，tx(t)=Ax(t)+JEiu(t),(】•2.1)t20,y(t)=Cx(t)(1.2.2)的有关控制理论问题和稳定性研究.其中。D爱。是下限为。的0=阶。aputo导数，oVQ<1,E,AERnxn是儿x礼维常系数矩阵，矩阵对(E,A)是正则的(其定义将在下一节给出)，BERnxm,CER'xn是己知的常系数矩阵，rankE全qV几，xERn是状态变量，uERm是控制输入，yER

5、r是输出.在本文的第二、三章考虑系统的能观能控性时，我们将系统等价的化为两个子系统进行考虑.在矩阵对(E,A)是正则的假设下，易知存在两个非奇异矩阵Q和P满足QEP--diag(In,,IV),的星零矢甘(吐L是彳魁h令1ER页p竺二(B1ERn1xm»B2E卩孑1为IRn2xmClER，xm,c2ERrxm.LQ)肚CBJBo1),(1.2.3〕°D叭oLzl(£)=A1x1(t)+B1(1.2•4)u(t),y1(t)=C121(1.2.5)(t)N•。D筆，tx2(t)=x2(t)+B2u(t),y2(t)=C222(t),第一章绪论其咿1z二㈢卜00砌钟2川慨一这和(1.2

6、.6)-(1.2.7)分别为慢子系统和快删A系诵^H即22)@脸1卩冋［微分系统，它的能观，张善经在［10,11］中讨论过.因此，讨论系统(1•2.1)一(1.2.2)的能費屠襲歸仑赛里系统(1・2.6)—(1.2.7)即可，这也是本文的主要任务之一.同时，歪寿退化系统(1・2.1)—(1.2.2)的反馈性质作了一点研究，讨论了系统的稳定性鋼鳶在的条件.本文的主要布局如下第三章，第一节通过运用拉普拉斯变换方法给出快子系统(1.2.6)-(1.2.7)轨迹，的翔的表达式.这里，没有使用叠加法求出方程的解，是本文的一大亮点•第二节通过对系统运动轨迹的分析，依次给出慢子系统(1.2.4)

7、-(1.2.5)、快子系统(1.2.6)匚1・2.7)的能控的充要条件，从而得到退化系统(1•2.1)-(1.2.2)能控性辔犀喙小鬲W明定理的可应用性.第三章，第一节主要讨论的是退化系统(1•2.1)-(1.2.2)能观性判别的充要第二籍岀一个小例子说明能观性定理的可应用性.第四章，第一节对文献【12］—【16］中关于非线性分数阶微分系统的部分稳定性标准加以分析说明，然后给出一个新的判别方法，并通过举例说明新方法的应用简捷性.第二节，主要讨论退化的分数阶线性微分系统