二阶微分系统的稳定性的研究

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1、姓名：牟对清联系电话：18794339669地址：甘肃省会宁县会宁三中利用李雅普诺夫函数研究二阶微分系统的稳定性1引言稳定性理论在自然科学和工程技术方面冇着广泛的应用，最早是由俄国数学家李雅普诺夫为了分析系统稳定性而提出的.这种方法不需要求出微分方程的解，而是去寻求某个与所考虑微分方程有关的李雅普诺夫函数，根据李雅普诺夫函数的特性直接去判断系统的平衡解是稳定或者是不稳定.利用李雅普诺夫函数研宂非线性系统解的稳定性的关键之处在于李雅普诺夫函数的构造.而对于一般非线性系统，如何构造它的李雅普诺夫函数还没有一个通用而有效的

2、方法.本论文主要对一些具体的微分系统，构造适合的李雅普诺夫函数，并利用其特性来判定该系统的稳定性.2符号、基本定义与引理/7v本文中用表示关于％和y的函数，x^x=—,依次类推.dt定义2.1设方程组—=/(z；x),/(r，0)=0.(2.1)的零解x=0的稳定性.dt(a)如果对任意给定的r>0,存在<5=〉0，使得当任意人满足

3、

4、人

5、

6、<5时，方程组(2.1)的由初始条件x(，Q)=x。确定的解x⑺，对一切均有则称方程组(2.1)的零解％=0稳定的.(b)如果方程组(2.1)的零解;c二0稳定，且存在这样的5(

7、)>0使得当

8、

9、xQ

10、

11、<么吋，满足初始条件=X。的解冰)均有limx⑺=0，则称零解x=0为渐近稳定的.(C)如果x=0渐近稳定，且存在域£>(),当切仅当;VaeZ)。是满足初值条件;。的解均有limx⑴=0,则域ZU尔为(渐近)稳定域.若稳定域为全空间，即么=+oo,贝IJ称零解*=0为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.定理2.2[8]对于微分方程f=/(%)(2.2)(a)如果对微分方程(2.2)可以找到一个正定函数，其通过方程组(2.2)的全导数#为常负函数或恒等于零，则方程组(2.2)的零解是稳定的.dt(

12、b)如果有正定函数其通过方程组(2.2)的全导数为负定的，则方程组(2.2)的零解是渐近稳定的.定理2.3[8]如果存在正定函数V/Cr；),其通过方程组(2.2)的全导数$为常负，但使^^=0的点x的集中除零解x=0之外并不包含方程组(2.2)的整条正半轨迹，则方程dt组(2.2)的零解是渐近稳定的.3应用举例下面将对一些具体的微分系统，构造适合的李雅普诺夫函数，并利用其特性来判定该微分系统的稳定性.例讨论一般的二阶非线性系统X=8^(3.4)的解的稳定性.[y=-f^y)引理3.2设二元函数4%，>，)均为连续

13、可微函数，且/(0,0)二尺(0,0>0.若①V(x，O)〉O(Vx^O),②[/(%,0)-/(x,y)]y<0(y关0);③[5(i，y)-5(0，；V)]x<0(x^O);limg(O”v)eZv=+oo.j—>+ooJo④limJ。(5,0)6tv=+oo,则系统(3.4)的零解全局渐近稳定.证明令V(x，y)=£'/(O>Zs，+£Vg(Oj)^，则由条件①知V正定，由条件④和V具有无穷大性质，而=f(^0)g(x9y)-f(x90)g(0,y)+f(x,0)g(0,y)-g(Q,y)f(x,y)=[

14、(^y)-

15、g(0，＞，⑴)=0,且/(外)，0)=0｝在(0，+00)上稠密，则由/，g的连续性及条件①必有x(z)=y(z)=0;若｛，

16、§(0，；v(，))=0j/(%⑴，0)=0｝在(0，+00)上不稠密,则3(汉，々)，么，£时，g(0,6Z(z)^0),/(%⑺，0)矣

17、0,由②式，对任re(汉，/?),有/(%(/),0)-/(x(z),y(z))=0且W，)，y(，))-《(0，)，⑺)三0,由条件②和③必有x⑺二)，⑺三0.又/卜，3＜)，gh，＞，；»连续可微，则系统(3.4)满足解的存在唯一性，因而V=0不包含除零以外的整条轨线.因此，系统(3.4)的零解全局渐近稳定.参考文献：［1］商学岭，几类二阶非线性系统Lyapunov函数的构造［J］,山东工业大学学报1994(04).［2］岳晓宁，关于二阶非线性微分方程组稳定性条件的讨论［J］,沈阳大学学报，1998(04).［3

18、］潘继斌，随机李雅普诺夫函数的构造法□］，湖北师范学院学报1999(03).［4］何东武，李雅普诺夫稳定性理论中V函数的构造［J］,辽宁师范大学学报2001(03).［5］张克新，一类非线性系统零解的稳定性分析［J］，黄刚职业技术学院学报，2006(3):43-45.［6］覃荣存，冯春华，利用V函数研究非线性系统解的稳定性［J］，梧州学院学报,