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《2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业47立体几何中的向量方法（二）+word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课时作业47立体几何中的向量方法（二）——求空间角和距离［授课提示：对应学生用书第248页］1.（2017-江苏卷）如图，在平行六面体ABCD~AB{CD中，脳1丄平面ABCD,^AB=AD=2,441=羽，ZBAD=20°.求异面直线/IB与/Cl所成角的余弦值.解析：在平面ABCD内，过点力作/E丄AD,交BC于点、E.因为儿11丄平面ABCD,BEJC所以441丄AE,441丄/D如图，以｛血，AD,AA]为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AD=2,A4=羽,ZBAD=120°,贝9/(0,0,0),5(^3
2、,一1,0),D(0,2,0),E心0,0),力1(0,0,羽)，01(^3,1,AlB=(y[3,-1,—羽)，AC=(晶1,羽),■则cosC4B,AC1)ABAC\AYB\AC\（迟一1,一羽）・（羽，1,羽）1—7__7,因此异面直线力13与/C1所成角的余弦值为*.2.（2017-浙江卷）如图，已知四棱锥P-ABCD,/PAD是以为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,CD丄AD,PC=AD=2DC=2CBfE为"的屮点.（1）证明：CE〃平面丹5（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.解析：⑴证明:如图，设刃中点为F
3、,连接EF,FB.因为E,F分別为PD,刊的中点,所以EF//AD且EF=*D.又因为BC//AD,BC=*D,所以EF//BC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形，所以CE//BF.CEQ平面B4B,BFU平面R4B,因此CE〃平面PAB.(2)分别取BC,/D的中点M,N.连接PN交EF于点0连接M0因为E,F,N分别是PQ,R4,力。的中点，所以0为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ〃CE.由△RD为等腰直角三角形得尸N丄力D由DCLAD,N是/Q的中点得BALLAD,PNCBN=N.所以丄平面由BC//AD得BC丄平面MN,B
4、CU平面MC,那么平面PBC丄平面PBN.过点0作的垂线，垂足为连接是M0在平面PBC上的射影，所以ZQMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD={.在△PCQ中，由PC=2,CQ=1,PD=、吃得CE=、/3,在中，由PN=BN=1,卩〃=羽得QH=£在RtAMQH中，QH=^,MQ=y{2,所以sinZQMH=^~.a/2所以，直线CE与平面FBC所成角的正弦值是专.一题多解(1)证明：设的中点为O,连接OB,OP.・・・M4D是以/D为斜边的等腰直角三角形，・・・OP丄AD.•・・BC=*D=OD,且BC//OD、・・・四边形BCDO为
5、平行四边形，又CDLAD,：.0B丄/D,^OP^OB=O,:.AD丄平面OPB.过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M,以O为原点，所在直线为x轴，OQ所在直线为尹轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系0—习玄，如图.设CD=1,则有A(09-1,0),8(1,0,0),C(l,l,0),D(0丄0).设P(x,0,z)(z>0),由PC=2,OP=1,_1_逅X~~Tz~(x-1)2+1+z2=4,?+z2=l,得即点P—2，o,2^,而E为FQ的中点,•丄丄丄呵*I49V4丿，设平面以3的法向量为n=(xi,yi,Z]),・
6、・・〃=(-*,1,¥)加=(1丄0),.!_如+尹1+乌]=(),、xi+p=0x=—y,Zi=—羽yi取〃=—1,得n=(i,—i,v§).而ce=(-£割,则CEn=0,而CEQ平面刃B,・・.CE〃平面丹(2)设平面PBC的法向量为m=(x2,yi>z?),V5C=(0,1,0),防0,¥)，=0,・・〕3~2X2设直线CE与平面PBC所成角为&取日，得心(1,0,V3).则sin〃=
7、cos〈加，CE}
8、=■—返ICQ伽故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为平.a1.(2017•新课标全国卷III)如图，四面体ABCD中，/4B
9、C是正三角形,△/CD是直角三角形，ZABD=ZCBDfAB=BD.(1)证明：平面/CD丄平面/BC；(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.解析：(1)证明：由题设可得△ABD竺HCBD,从而AD=CD.又△/CQ是直角三角形，所以ZADC=90°.取/C的中点O,连接DO,BO,则DO丄AC,DO=AO.又因为是正三角形，故〃。丄AC,所以ZDOB为二面角D-AC-B的平面角.在R4OB中，BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO1=BO2+A(f=AB
10、2=BD2,故ZDOB=90。.所以平面/CQ丄平面ABC.(2)由题设及⑴知，OA,OB,OD两两垂直,―►―A以O为坐标原点，Q4的方向为兀轴正方
