从历史发展的视角看中学概率教学

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1、第27卷第4期数学教育学报Vol.27,No.42018年8月JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONAug.,2018从历史发展的视角看中学概率教学122张蜀青，曹广福，罗荔龄（1．广州市执信中学，广东广州510095；2．广州大学数学与信息科学学院，广东广州510006）摘要：按照历史发展的脉络，从古典概型到统计意义下的概率，再到公理化的概率论，对概率论的发展做了简明扼要的阐述，方便一线教师对概率论基本历史有一个初步的了解．同时，通过一系列问题情境的创设，针对中学一线课堂中随机事件、样本空间、古典概型与几何概型等概念的教学提出了具有可操作性的建议．概率教

2、学应遵循几个基本原则：（1）适应学生的认知水平；（2）在尊重历史的基础上改进教学内容；（3）杜绝伪情境．概念的定义应该准确，不同概念之间（基本事件、样本空间、随机事件等）的逻辑关系应该清晰明了．中学阶段不宜设计一些类似贝特朗问题的陷阱，这些问题除了增加学生对几何概型理解的困难，并不能为学生学习概率带来更多的帮助．关键词：随机事件；样本空间；几何概型；古典概型；随机变量中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1004–9894（2018）04–0035–06引用格式：张蜀青，曹广福，罗荔龄．从历史发展的视角看中学概率教学[J]．数学教育学报，2018，27（4）：35-40

3、．1引言国数学家帕斯卡（BlaisePascal，1623—1662）在度假旅途中偶遇赌徒梅累，梅累向帕斯卡提出了一个分赌注的问概率是中学数学的重要组成部分，也是中学数学教学中题．梅累向帕斯卡介绍说，他在一次与赌友掷骰子时，每人的难点，之所以难，主要原因或许来自两个方面：一是很多押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出3个6点，中学教师对概率论了解不多，有些甚至没有学过概率论；二或其赌友先掷出3个4点，便算赢家．然而当梅累掷出两次是一些教材对概念的阐述不够清晰，导致理解上的困难．中6点，赌友掷出一次4点时梅累接到通知，要他马上陪同国学教材首先从频率的角度定义概率，将概率定义

4、为重复随机王接见外宾，赌博不得不中断，但就此收回各自的赌注心有试验中频率的极限，然后回到古典概型．统计意义下的概率不甘，于是决定按照已经取得成绩分取这64个金币．但梅定义是存在逻辑问题的，而且，中学阶段虽然学习微积分，累与赌友不知道该如何分配这笔赌注．帕斯卡告诉梅累：如但并不介绍极限概念，教学过程中也很难实现从频率到概率果再掷一次，甲胜，甲获全部赌注，乙胜，甲、乙平分赌注，的极限过度，一些教师通过抛硬币或计算机模拟的方法引入两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，甲应得赌概率概念，但显得很不自然，而且任何有限次重复试验的频金的3/4，乙得赌金的1/4．帕斯卡的回答或许让人

5、一时难以率与概率都可能相去甚远．所以概率的教学是个值得好好研理解，费马则给了一个令人信服的解答．首先把问题简化一究的课题．下：甲、乙两人同掷一枚硬币，规定若正面朝上，则甲得一2概率论简史点，若反面朝上，则乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注．假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止在研究教法之前，首先需要了解一下概率论的前世今了，问应该怎样分配赌注才算公平合理．费马认为：结束赌生，不清楚其来龙去脉，教学有如盲人摸象．局至多还要2局，结果为4种等可能情况：2.1赌徒梅累的问题情况1234概率论出身“卑微”是众所周知的，它很长一段时间胜者甲甲甲乙乙甲乙乙得不到数学家们的普遍

6、认同与它的出身或许有一定关前3种情况，甲获全部赌金，仅第4种情况，乙获全部系．但更重要的是，早期的概率论缺少严格的数学基础，赌注．所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4．显然费马的这恐怕是概率论很长时间不能登堂入室的根本原因．一些解答比帕斯卡的解答更容易理解一些．数学史甚至没有把概率论列入其中，例如M·克莱因的《古2.2古典概型[1]今数学思想》甚少提及概率论，这也许与这套巨著偏重帕斯卡与费马虽然并未在研究这类问题时给出明确的于确定性数学有关．定义，他们只是定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情掷骰子始于什么时候无从考证，但数学家研究这个问题况数与所有可能情况数的比，这实际

7、上就是后来人们定义的还是有据可查的，发明了一元三次方程求根公式的16世纪概率．对赌博问题感兴趣的人不只是帕斯卡与费马，1655意大利数学家卡尔丹（1501—1576）同时也是个赌徒，他曾年，荷兰数学家惠更斯在巴黎时了解到帕斯卡与费马的工说过一句：“诚实的骰子”，意思是说，掷骰子是公平的，机作，也兴味盎然地参加讨论，这就是《关于赌博中的推断》会均等，这是古典概型的基本前提．但掷骰子作为一个学术（1657年）一书的由来，它是早期概率论的奠基之作．直到问题被数学家们研究可能最早开始于17世纪中叶，据说法19世