2014年北京市丰台区初三（上）期末数学

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2014丰台区初三（上）期末数学一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的•1.（4分）如果4x=5y（yHO）,那么下列比例式成立的是（）A.3b.3C・^1d.◎4554y54y2.(4分)二次函数y=-(x-3)%的最大值为()A.1B.-1C.3D.-3内含B.内切C.A.30°5.D.15°（4分）如图,A.C.3^326.（4分）如图,扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（ZBAC）为120。,骨柄AB的长为30cm,扇面的宽度BD3.（4分）OOi和002的半径分别为2cm和3cm,如果O.O^Scm,那么00】和002的位置关系是（）相交D.外切B,C是上的三个点，如果ZBAC=30°,那么ZBOC的度数是（）在RtAABC^，ZACB=90°,CD丄AB于点D,如果AC=3,AB=6,那么AD的值为()的长为20cm,那么这把折扇的扇面面积为（）BCEA.B.DA40071爲cm3C800兀•~3~cm27.（4分）如果点AA.8.B.D.300ncm2（-1,Y1）,B（2,y2）,C（3,y3）都在反比例函数y二丄的图象上，那么（）Xyi0.斗3•2-1-丄AAAAL1-3-2-101234x-1・-2-15.（5分）如图，矩形ABCD中,AP平分ZDAB,且AP丄DP于点P,联结CP,如果AB=8,AD=4,求sinZDCP的值.18.（5分）如图，正比例函数y二-丄x的图象与反比例函数y二上的图象分别交于M,N两点，已知点M（-2,m）.2x（1）求反比例函数的表达式；（2）点P为y轴上的一点，当ZMPN为直角时，直接写出点P的坐标.四、解答题（本题共22分，第19,22题每小题5分，第20,21题每小题5分）19.（5分）某工厂设计了一款产品，成本为每件20元.投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）Z间满足y=・2x+80（20WxW40）,设销售这种产品每天的利润为W（元）.（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 19.（6分）如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能.（参考数据：V2^1.4,73^1.7）21.（6分）如图，PB切00于点B,联结P0并延长交00于点E,过点B作BA丄PE交（DO于点A,联结AP,AE.（1）求证：P八是00的切线；（2）如果0D二3,tanZAEP二丄,求00的半径.22.（5分）对于两个相似三角形，如杲对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1,AA.B^^AABC,则称△ADG与AABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2,AA2B2C2-AABC,则称△A2B2C2与zMBC互为异相似.團1BCC?團2(1)在图3、图4和图5中,AADE^AABC,AHXG^AHGF,AOPQ^AOMN,其中AADE与ZABC互为相似,AHXG与AMF互为相似，△OPQ与△OMN互为相似;團4（2）在锐角ZXABC中，ZAAD.(1)以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE=AB,联结AE,BE，请补全图形，并判断ZAEB与ZCEB的数量关系;(2)在(1)的条件下’设蛊，嚨，试用等式表示山间的数量关系并加以证明.C25.(8分)我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角.如图1,对于线段AB及线段AB外一点C，我们称ZACB为点C对线段AB的视角.如图2,在平面直角坐标系xoy中，已知点D(0,4),E(0,1).(1)OP为过D,E两点的圆，F为OP±异于点D,E的一点.度;度;①如果DE为OP的直径，那么点F对线段DE的视角ZDFE为②如果0P的半径为那么点F对线段DE的视角ZDFE为(2)点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角ZDGE最大时，求点G的坐标.1■2-1 参考答案与试题解析一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.【解答】4x=5y(yHO),两边都除以20,得兰二兰，故B正确；故选：B.542.【解答】・••二次函数y二-(x-3)“I是顶点式,・•・顶点坐标为(3,1),函数的最大值为1,故选：A.3.【解答】72+3=5,由于两圆外切时圆心距等于两圆半径的和，・・・两圆外切.故选D.4.【解答】TZBOC与ZBAC是同弧所对的圆心角与圆周角，ZBAC=30°,・・・ZBOC二2ZBAC二60°.故选A.c5.【解答】如图，•・•在RtAABC中，ZACB=90°,CD丄AB,.AC2=AD*AB,又VAC=3,AB=6,A3=6AD,则AD二丄.2故选：八.6.【解答】VAB=30cm,BD=20cm,•AD=30-21=10(cm),•；S阴彤二S扇形BAC"S扇形DAE二cm2.120兀X302-120兀X1o2_12O兀(302-102)」00兀360360T"故选C.7.【解答】•・•点A(-1,Y1),B(2,y2),C(3,ys)都在反比例函数y二色的图象上,・••好3,y冷Y3 •「MV可Ayi0・•・函数的图象是C选项，故选：C.二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）9.【解答】・・・DE〃BC,.AD-AE即AE二3…而辰'T~T・・・AE二6.故答案为6.10.【解答】由垂径定理OC丄AB,则AC二BC二丄AB二4cm在RtZAC0中,AC二4,003,由勾股定理可得A0=//aC2+0C2-V42+32=5（e），即00的半径为5cm.故答案为：5.32511.【解答】设旗杆高度为x米，由题意得，丄卫二厶，解得x=15.故答案为：15. 12.【解答】如图所示：tanB二坐二BD4故答案为：色.413.【解答】•・•关于x的二次函数y二x'-kx+k-2的图象与y轴的交点在x轴的上方,・・・k・2>0,解得：k>2,・••答案为：y二x?・3x+l答案不唯一.Ay/////BCD14.【解答】根据衍生点的定义，点A：（2,・1）的衍生点为A?的坐标为（・2+1,1■丄），即（・1,2）；点A2-1（-1,2）的衍生点为A：；的坐标为（1+1,1■丄）,即（2,丄）；22若点A】的坐标为（a,b）,点Ai的衍生点为A2的坐标为点A2的衍生点为A.3的坐标为(-a+1,1-—)»即A2(-a+1,—―—)；bb(a-1+1,1-.),即A3(a,-―-—)；blLb-1b点仏的衍生点为人的坐标为(-a+1,1-~),即Ai(-a+1,b)；"bT点仏的衍生点为氐的坐标为点As的衍生点为脏的坐标为(a-1+1,1-丄)，BPAs(a,上L)；bb(-a+1,1-.),即An(-a+1»-—-—)；bzLb-1b点氐的衍生点为A?的坐标为(a-1+1,1-~),即A?(a,b),」b-l而2015=335X6+5,所以点A2°i5的坐标与点As相同，即为（“旦）,b因为点A2015在双曲线y二丄上，所以护旦二1,则沪上，bb-1所以丄+丄二上L+丄二1.abbb故答案为（2,丄），1.2 y=x2-4x+3三、解答题(本题共20分，每小题5分)15.【解答】原式二2X1+03-*3二2.2216.【解答】(1)y=x2-4x+3二(x-2)'・1；(2)令x=0,则y二3,即抛物线与y轴交于点(0,3)；•・•由(1)知，该抛物线的解析式为y二(x-2)2-1,・••该抛物线的顶点坐标是(2,・1).又y=x2-4x+3=(x-3)(x-1),・・・该抛物线与x轴的交点坐标是(3,0),(1,0).则其图彖如图所示：则当x3时,y>0.17.【解答】过点P作PE丄CD于点E,・・•四边形ABCD是矩形，・・・CD二AB二8,ZDAB=ZADC=90°.TAP是ZDAB的角平分线，・・・ZDAP二丄ZDAB二45°・2TDP丄AP,.ZAPD=90°.AZADP=45°・ZCDP=45°.在RtAAPD中，ADM,・・・DP二AD・sinZDAP二2典，在RtADEP中，ZDEP=90°,・・・PE二DP・sinZCDP=2,DE二DP•cosZCDP二2・・・・CE二CD-DE二6,在RtACEP«|>,ZCEP二90°,PC=JCg2+pE2=2a/10»・・・sinZDCP二匹二PC10 18.【解答】(1)J点1(-2,m)在正比例函数y二-丄x的图象上，2m=-lx(-2)=1,2AM(-2,1),・・•反比例函数y二上的图象经过点M(・2,1),X・・・k二-2X1=・2.・・・反比例函数的解析式为y=--|.(2)・・・正比例函数y二-丄x的图象与反比例函数y二上的图象分别交于M,N两点，点M(-2,1),2x・・・N(2,-1),•・•点P为y轴上的一点，・••设P(0,m),・・・ZMPN为直角，AMPN是直角三角形，・・・(0+2)2+(m-1)2+(0-2)2+(m+1)2=(2+2)2+(-1-1)2,解得m二土・••点P的坐标为(0,V5)或(0,-V5).四、解答题(本题共22分，第19,22题每小题5分，第20,21题每小题5分)19.【解答】(1)w=y(x-20)=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600(2)v二2x'+120x・1600=・2(x・30)2+200,则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元.20.【解答】过点C作CD1AB,交AB延长线于点D.由题意可知,在AABC中，ZCAB=30°,ZABC二90°+30°=120°,・・・ZACB=30°,BC二AB=20.在RtACBDZCBD=60°,CD=CB•sinZCBD=1（h/3（海里）.V10V3>12,・••这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区. 21.【解答】（1）证明：如图，连结OA,0B,TPB是00的切线,・・・ZPB0二90°,V0A=0B,BA丄PE于点D,・・・ZP0A=ZP0B,(0A=0B在APAO和△PBO中，｛ZPOA二ZPOB，|po二POAAPAO^APBO(SAS),・・・ZPAO二ZPBO二90°,・・・PA丄OA,・•・直线PA为OO的切线，(2)在RtAADE中，ZADE=90°,DE2・.・tanZAEP二坐二丄，・••设AD二x,DE二2x,0E=2x-3.在RtZXAOD屮，由勾股定理，得（2x・3）2=x2+32,解得xf4,x2=0（不合题意，舍去），AADM,0A二0E二2x・3二5,即的半径的长5.22.【解答】（1）AADE与AABC互为同相似,ZHXG与△HGF互为逆相似,AOPQ与ZkOMN互为同相似,故答案为：同，逆，同；（2）如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作ZCBM=ZA,BM交AC于点M.当点P在AM（不含点M）上时,过点P】只能画出1条截线RQ,使ZAPiQ=ZABC,此时AAPiQ与AABC互为逆相似;当点P在CM上时,过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2,分别使ZAP2Qi=ZABC,ZCP2Q2=ZABC,此时△AP©、△QRC 都与AABC互为逆相似.故点P为AC边上一定点（不与点A,C重合），过这个定点P画直线截△ABC,使截得的一个三角形与AABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条，故答案为：1或2.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.【解答】（1）根据题意得，△=4+4m>0,解得m>-1；（2）由题意知'抛物线对称轴为直线日，点A和点B是抛物线上的两个对称点，则呼―解得n=0,・••点A(-1,0),/.y=xJ-2x-3；（3）当442-2X4-34解得：k>20.当x°=5时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得扌・2X5・3>上，5解得k<60・所以k的取值范围为：20