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1、楚雄师范学院本科论文（设计）函数是多项式的充要条件王晓燕（楚雄师范学院数学系2004级1班）指导老师郎开禄摘要：本文综合给出了一元函数、二元函数、n元函数是多项式的充要条件.关键词：函数多项式充要条件ThenecessaryandsufficientConditionforpolynomialhasedonfunctionWangXiaoyanClass1Grade2004oftheDepartmentofMathematics,ChuXiongNormalUniversityAbstract:Th
2、ispaperdemonstnatesthatthefunctionofonevariable、thefunctionoftwovariableandthefunctionofnvariableisthenecessaryandsufficientconditionforpolynomial.Keywords:function;polynomial;necessaryandsufficientcondition.导师评语：文[1]([1]刘玉琏,杨奎元,刘伟,吕凤编，数学分析讲义学习辅导书[M]（上
3、册）北京,高等教育出版社,2003)中给出了一元函数是次数不超过2的多项式的一个充要条件.王晓燕同学的毕业论文<<函数是多项式的充要条件>>在此基础上给出了:(1).一元函数是次数不超过3的多项式、次数是不超过的多项式的充要条件；(2).二元函数是次数不超过2的单变量多项式、次数不超过3的单变量多项式、次数不超过的单变量多项式的充要条件；(3).元函数是次数不超过2的单变量多项式、次数不超过3的单变量多项式、次数不超过的单变量多项式的充要条件.王晓燕同学的毕业论文<<函数是多项式的充要条件>>选题具
4、有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了判别一元函数是多项式的充要条件,二元函数是单变量多项式充要条件,元函数是单变量多项式充要条件(文中的定理3至定理13及其推论).该论文完成有相当的技巧性和计算量,其结果完整,在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,能吃苦,在导师指导下独立完成.9楚雄师范学院本科论文（设计）函数是多项式的充要条件前言在文[1]中给出了一元函数是次数不超过2的多项式的一个充要条件，受其启发，本文给出了一元函
5、数是次数不超过3的多项式、次数不超过的多项式的充要条件；二元函数是次数不超过2的单变量多项式、次数不超过3的单变量多项式、次数不超过的单变量多项式的充要条件；元函数是次数不超过2的单变量多项式、次数不超过3的单变量多项式、次数不超过的单变量多项式的充要条.一一元函数是多项式的充要条件定理（泰勒中值定理）若在存在+1阶导数，，则存在，使.定理设在上具有三阶连续导数，则是次数不超过2的多项式的充要条件是.证“”：令，则又，故因此“”：由泰勒公式，有故于是（1）又由泰勒公式，有（2）因此，由（1），（2）
6、得即令，得，故，于是是次数不超过2的多项式.9楚雄师范学院本科论文（设计）受定理2的启发，我们有定理3设在上具有四阶连续导数，则是次数不超过3的多项式的充要条件是.证“”：令，则故而故“”：由泰勒公式，有故于是（3）又由泰勒公式，有（4）因此，由（3），（4）得即令，得，故，于是是次数不超过3的多项式.一般地，我们有定理4设在上具有阶连续导数，则是次数不超过的多项式的充要条件是.证“”：令，则故9楚雄师范学院本科论文（设计）而故“”：由泰勒公式，有故于是（5）又由泰勒公式，有（6）因此，由（5），（
7、6）得即令，得，故，于是是次数不超过的多项式.二二元函数是单变量多项式的充要条件定理若在内存在阶连续偏导数,，则存在，使其中.推论1若在内存在阶连续偏导数，则，有.推论2若在内存在阶连续偏导数，则，有9楚雄师范学院本科论文（设计）.定理6设在上具有三阶连续偏导数，则其中，具有连续导数.证“”：因为故于是又因此故“”：由推论1，有故（7）又由推理1，得（8）因此，由（7），（8）得即令，得故于是，其中,具有连续导数.9楚雄师范学院本科论文（设计）推论若，则，其中是常数.同样的，我们有定理7设在上具有三
8、阶连续偏导数，则其中，具有连续导数.推论若，则，其中是常数.定理8设在上具有四阶连续偏导数，则其中，具有连续导数.证“”：因为，故，，于是又因此故“”：由推论1，得=故9楚雄师范学院本科论文（设计）=（9）又由推理1，得（10）因此，由（9），（10）得即令，得故于是，其中,具有连续导数.推论若，则其中是常数.同样的，我们有定理9设在上具有四阶连续偏导数，有其中，,具有连续导数。推论若，则其中是常数.一般地，我们有定理10设在上具有阶连续偏导数，则其中，,具有连续导数
