《相似图形》复习要点

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1、《相似图形》复习要点福建　周奕生《图形的相似》是几何的重要内容之一，同平移、翻折、旋转这些全等变换一样，相似也是一种变换，主要研究图形的形状关系．性质对应角相等，对应边成比例１．两角对应相等；２．两边对应成比例，且夹角相等；３．三边对应成比例．位似成比例的线段比例的性质图形相似三角形相似应用黄金分割判定一、知识结构二、复习目标１．认识物体和图形的相似，了解相似图形的概念；２．了解线段的比、成比例的线段概念和黄金分割；３．能够判定两个三角形相似，并能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题；４．了解位似图形的概念，能用位似变换将一个图形进行放缩；５．能够利用直角

2、坐标系来描述图形的位置．三、知识要点本章的重点是相似三角形的性质和三角形相似的判定；运用图形相似的性质解决简单的实际问题是本章的难点，也是重点之一．主要知识点是：１．线段比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做线段比．这里要特别注意两条线段的长度单位要统一．比如：线段AB＝３cｍ，CD＝２０ｍｍ，那么应先把线段AB与CD的长度单位化为统一，如果以cｍ为单位，则，如果以ｍｍ为单位，则．可见，线段比与所采用的度量单位无关．２．比例尺：在地图或图纸上，图上距离与它所表示的实际距离的比叫做比例尺，通常写成１∶ｍ的形式．这里也要注意图上距离与实际距离的长度单位也是要统一

3、的．事实上，比例尺是特殊的线段比．３．比例线段：如果四条线段，其中两条的比等于另外两条的比，那么称这四条线段成比例线段，简称比例线段．可见比例线段是线段之间的一种数量关系．例如：已知线段A＝３，B＝６，C＝１２，D＝２４，由，可得，从而可知A，B，C，D是比例线段；另一方面，如果从，5也可知这四条线段成比例．这里也特别注意：如果A、B、C、D成比例，那么比例式是，不能随意更改比例式；４．比例的性质：（１）基本性质：如果，那么AD＝BC；反过来，如果AD＝BC（A，B，C，D都不等于０），那么．可见比例式与等积式可以相互转化．（２）合比性质：如果，那么．此性质可以

4、记作：在一个比例式中，比的分子分别加上或减去各自比的分母，所得比例式仍然成立．（３）等比性质：如果（B＋D＋…＋ｎ≠０），那么．这里要特别注意B＋D＋…＋ｎ≠０这个条件．（４）黄金分割：如果点C把线段AB分成AC和BC，且（或＝AB·BC），那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比值为（约等于0.618）叫做黄金比．注意：一条线段有两个黄金点；５．相似的图形：形状相同，大小不一定相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形；６．相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，其中对应边的比叫做相似比．全等多边形就

5、是相似比为１的相似多边形；７．相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例．注意：各角对应相等的多边形不一定相似，比如两个矩形，它们的四个角对应相等，但不一定相似；８．相似三角形：相似多边形中最简单的特例．９．相似三角形的判定：（１）两角对应相等的两个三角形相似；（２）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；（３）三边对应成比例的两个三角形相似；注意：三角相似的判定与三角形全等的判定十分类似．１０．相似三角形的性质：若两个三角形相似，则（１）对应角相等，对应边成比例；（２）对应高、中线和角平分线的比都等于相似比；（３）周长的比等于相似比；（４）面积的比等于相似

6、比的平方；注意：运用相似三角形可以解决许多实际问题．5１１．位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似，该交点叫做位似中心．可见，位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小．四、典例剖析例１　如图，CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，则图中共有几个三角形？这些三角形相似吗？为什么？你能从中得出什么结论？ＡＤＢＣ分析：要判定三角形是否相似，先从最简单的“两角对应相等”入手，寻找是否存在两个角对应相等？在△ABC与△ACD中，显

7、然有∠ACB＝∠ADC＝９０°，∠A为公共角，故△ABC∽△ACD；同理，△ABC∽△CBD，因此，图中三个三角形都相似．由此可得这样的结论：直角三角形斜边上高分三角形所得两个直角三角形与原三角形都相似．例２　已知２A＝３B＝４C≠０，求的值．分析：先求出A∶B∶C的值，再运用参数法，用ｋ表示A、B、C．已知的等式三边同时除以２、３、４的最小公倍数１２，得，设A＝６ｋ，B＝４ｋ，C＝３ｋ，则＝＝．例３　已知点C是线段AB上一点，AC＝，BC＝，试判断点C是不是线段AB的黄金点？为什么？分析：欲知点C是不是AB的黄金点，只须判断AC或BC与AB的比值是不是等于黄金

8、比？因此，应先求出AB的