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《初一寒假第7讲 数论杂题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七讲数论杂题【例】求正整数n使得（200n-999）
2、【解析】（200n-999）
3、(200n-999)
4、40000(200n-999)
5、(200n-999)
6、我们要找的约数当中模200余1的。也就是的约数当中模8,25都余1的。3的0,1,2,3,4,5,6次方除以25余1,3,9,2,6,18,4.37的0,1,2次方除以25余1,12,19经试验，只有1×1与4×19符合除以25余1。对应的200n-999只能等于1或解得n=5或4995验算，这两个数都是满足题意的。【例】从1,2,…,2008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1004个数中的任意两数之
7、和都不等于2009.则这1004个数的平方和等于.参考公式:12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1).【解析】将1,2,…,2008分成1004组:{1,2008},{2,2007},…,{1004,1005}.设第i组选出的数是，未选出的是。【例】将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，第2011项是多少？【解析】133123。4进制的2011。【例】求证存在无穷多个三元正整数组(x,y,z)满足x+y-z=1，并且任何两数乘积被第三个数整除。【解析】设x=aby=bcz=ca这样自然满足任何两数乘积被第三个数整除。下面去满足x+y-z=1。ab+b
8、c-ca=1a(c-b)=bc-1明显只要c-b=1a=bc-1即可。所以得到参数解【例】求证：在中至少有一个能被n整除，其中n为大于1的奇数。【解析】考虑这n个数，其中没有n的倍数，因为n是奇数。所以他们除以n得到的余数只能取自1,2，…n-1。根据抽屉原理，其中同余，p>q这就是所要结论。【例】r是1059,1417,2312被d除后的余数，d是大于1的整数，求d-r。【解析】由带余除法知识，d>rd
9、1059-rd
10、1417-rd
11、2312-rd
12、(2312-1417,1417-1059)所以d
13、179d是大于1的，所以d=179r=164d-r=15【例】由7个自然数
14、组成的公差30的等差数列中，恰有一个被7整除。【解析】只要证明7个数中任意两个数除以7得到的余数都不同，那么恰有一个7的倍数。如果有两个数是同余的，考虑这两个数的差。公差是30，所以这两个数的差是30k。k是1,2,3,4,5,6中的某一个。显然这个差不是7的倍数，得到矛盾。所以恰有一个7的倍数。【例】是否存在无限长的质数等差数列？【解析】不存在。假设存在这样的数列，他的通项是an+b由于每一项都是质数，a,b应该是互质的。考虑与a互质的质数p。不妨假设数列第一项大于p。数列的前p项a+b,2a+b,3a+b…pa+b应该没有p的倍数。所以他们除以p的余数只能是1,2,3…p
15、-1。根据抽屉原理，有两个取到相同的余数。把这两项相减，得到p
16、ka其中k是小于p的整数。这是不可能的。【例】小明计算前n个正整数的乘积，小华计算前m个偶数的乘积。，两人计算结果相同。证明两人不可能全对。【解析】如果两人全对，有也就是说左边每一个数都是2的若干次方。明显不可能。【例】有多少个正因子小于n且不整除n?【解析】考察“因数可以配对”这个常识。的正因子个数是63×39=2457。其中有1228个大于n，1229个不超过n。在不超过n的1229个因子当中，有32×20=640个是n的因子，其中包含n。所以的因子当中小于n且不整除n的有1229-640=589个。【例】证
17、明是两个平方数的和。【解析】下式叫做斐波那契等式这个式子的意义是两个数都能写成平方和，那么乘积也是平方和。连续运用上面的公式，只要是2005的正整数次方，都可以写成平方和。【例】正整数n的十进制写法中，左边的数字总小于右边。求9n的数字和。任何整数均有个倍数是只由9,0组成。【解析】设n的十进制写法是，满足左边的数字总小于右边。考虑竖式9n=10n-n由于n左边的数字总小于右边，所以竖式的结果在十进制之下是数字和是9。.【例】求正整数n使得是平方数。【解析】思路是“用大数破坏条件”。也就是说这个奇怪的式子至多只能对有限个n成立。首先把较小的自然数带入。发现n=5时恰好成立。对
18、于n=1,2,3,4,6,7,8,9都不成立。我们可以只讨论n>9。这时右边肯定是两个相邻偶数。其中必有一个是的倍数，所以右边的最小值是解不等式易见n>9时无解。【总结】这种和连续整数有关的不定方程，经常讨论质因数如何分配给等号的另一侧。【例】6个不同正整数构成递增数列，每一个都是前一个的倍数。他们的和是79，其中最大的是多少？【解析】第一个数是总和的约数，只能是1。第二个数是79-1=78的约数。只能是2。如果是不小于3的数，总和至少是1+3+6+12+24+48>79。.第三个数是2的倍数，大于2，
