名校真题精讲(共7讲)_第02讲_数论专题—学生版

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1、第2讲数论专题一、整除（一）整除的定义若整数除以整数，除得的商为整数且没有余数，就说能被整除，或能整除，记作．（二）整除的性质（1）已知、，则，．（2）已知，则．（3）已知且，则．（4）已知且，则．（三）常用判断法1．尾数判断法能被2或5整除的：个位数字可被2或5整除．能被4或25整除的：末两位可被4或25整除．能被8或125整除的：末三位数可被8或125整除．2．数字和判断法能被3或9整除的：各位数字之和能被3或9整除．能被99整除的：从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数．3．奇偶位求差法能被11整除的：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．（注意：我们把一个数从右往

2、左数的第1位、第3位、第5位、……统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2位、第4位、第6位、……统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”）4．三位截断法能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差12能被7或11或13整除．5．形如的数可以被7、11、13整除，在多位数的判断中可以将这样的六位数“去掉”再判断．6．对于没有整除特性的数，可以利用列竖式的方式找到能被这个数整除的数．一、质数与合数（一）质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它自身外，还能

3、被其他数整除的数．（二）分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．例如，二、约数、倍数（一）基本概念（1）如果a能被b整除（），则b是a的约数（因数），a是b的倍数．（2）约数具有“配对”性质：大约数对应小约数．（二）约数个数（1）分解质因数，指数加1再相乘．（2）平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数．【例】有2012盏灯，分别对应编号1~2014的共2014个开关．现在有编号1~2014的2014个人来按动这些开关．已知第一个人按的开关是1的倍数，第二个人按的开关是2的倍数，第三个人按的开关3的倍数……以此类推，第2014个人按的开关是2014的倍数．如果，

4、一开始灯全是亮着的，那么这2014个人全都按完后，还有多少盏灯是亮的？【解】如果一个灯一开始为亮，最后还亮，那么它被按了偶数次，说明它有偶数个约数，是一个非完全平方数．所以平方谁编号的灯都灭了．从1~2014中，共44个平方数，所以有的44盏灭了，最后还有盏灯亮着．（三）约数和公式（1）设一个数的质因数分解式为，这这个数的约数和为．【例】若某数的质因数分解式为，则约数和为12（2）利用约数个数反推原数的质因数分解形式．【例】一个自然数N有9个约数，而N-1恰好有8个约数．求满足条件的N的最小值．【解】N有9个约数，则N的质因数分解式为或，再结合N-1的情况，经尝试可知，最小的

5、为一、公约数、公倍数（一）基本概念（1）如果a是若干个数公有的约数，则称a为它们的公约数，其中最大的叫作最大公约数．（2）如果b是若干个数公有的倍数，则称b为它们的公倍数，其中最小的叫作最小公倍数．（3）公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数．（二）计算方法（1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．【例】，，所以（2）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．【例】，所以（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一

6、个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)【例】求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15（三）基本性质（1）（2）两个数的最大公约数是它们和或差的约数．（3）已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来．（四）两个最简分数的最大公约数、最小公倍数12【例】一、余数（一）求余数（1）直接做除法（2）特征求余（用整除性判定的方法计算余数）（3）替换求

7、余（4）周期求余（5）分解求余（二）物不知数问题（求被除数）（1）也称“韩信点兵”，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理”（也称“孙子定理”）（2）物不知数问题的基本解法是逐步增加条件，逐步找寻【例】一个三位数除以3余1，除以5余2，除以7余4，则这个三位数最小是多少？【解】满足第三个条件的数是4，11，18，25，32，……，发现32可以同时满足后两个条件；接下看，同时满足后两个条件的数为32，32+5×7=67，32+5×7×2=102，……，发现67能同时满足三个条件，所以满足条件的数为（其中n