奥数：第8讲杂题第6讲

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1、第18讲杂题第０６讲最值问题例1有a、b、c3条线段，线段a长2.12米，线段b长2.71米，线段c长3.53米．如图18—1，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形．问第几号梯形的面积最大?答案第③号．分析大家可能都已经学过，梯形的面积等于：(上底+下底)×高÷2．那么我们是不是可以把这3个梯形的面积一一求出，然后再作比较呢?再看一下这3条线段的长度，实际上都是三位数，计算量是很大的．那有没有更好的方法呢?题目的要求是比较这3个梯形面积谁最大．由于梯形的面积公式中都有除以2，所以我们只需要比较下面3个数的大小：这3个算式里有一个

2、最大的特点，就是被乘效与乘致日可和是一个定值:a+b+c．此时，我们可以联想到这样一个问题：两个数和一定，什么时候这两个数的乘积最大?结论是：当两个数相等时乘积最大．但如果两个数不能相等呢?那就是当两个数最接近时，乘积最大．详解首先比较(a+b)×6、(b+a)×a和(a+b)×c这3个数的大小．因为a

3、4分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大．问这个最大乘积是多少?答案162．分析首先我们从较小的数考虑：2和3不用再分析了；4可以拆成两个2，也可以不拆，但不能拆成1和3；5可以拆成2和3；6可以拆成3和3．那对于任何一个自然数n呢?下面我们来看针对一些比较大的数应该如何分拆：假设n为自然数，并且n≥6．拆的方法很多：n=1+(n一1)=2+(n一2)=3+(n一3)=4+(n一4)=5+(n一5)=……首先拆一个1出来是不好的。其次拆大了也不好，比如拆出一个4来与拆出两个2没有区别，拆出一个5来就不如拆出一个2和一

4、个3．所以我们需要比较的是拆2和拆3哪种更好?n=2+(n一2)，此时两数的乘积是n=3+(n一3)，此时两数的乘积是这两个乘积谁大呢?我们看一下下面这个不等式：这就说明当n>5的时候，拆3比拆2要好．所以对于14，我们先把它拆成3+11，11还应该拆成3+8，8还可以拆成3+5，最后再把5拆成3+2．综合起来就是14=3+3+3+3+2．详解把14拆成4个3和1个2的和，此时乘积是最大的，等于3×3×3×3×2=162．评注对于很多数学问题，我们不妨从简单的地方先考虑一下，再慢慢地引申到复杂的情况，以找到更好的办法．例3由3个非零数字组成

5、的三位数与这三个数字之和的商记为K．如果K是整数，那么K的最大值是多少?答案79．分析如果题目中不要求是三个非0的数字就好办了，比如100、200……900都可以，K的最大值是100．现在要求三个数字都不等于0．应该怎么办呢?假设这个三位数是那么根据题意可得：我们不难发现，要想K取最大值。就应该让a尽可能地大，b和c尽可能地小．逐个找一下，911÷(9+1+1)=82……9，811÷(8+1+1)：81……1，711÷(7+1+1)=79．现在我们找到了一个，K可以等于79．但还有没有比79更大的呢?详解假设这三个位数，那么有：我们可以找到

6、一个三位数711使K的值等于79．下面我们来证明79就是最大的．当b和c都等于1时，因为a=8或9都不能使K为整，所以a最大只能是7，此时K等于79．当b和c中至少有一个比1大时，我们可以证明无论a等于多少，K的值都是小于79的．证明如下：因为b和c中至少有一个比1大时，我们可以证明无论a等于多少，K的值都是小于79的．证明如下：因为b和c至少有一个比l大，并且a最大是9，所以即两边同时加上79a+lOb+f得所以这样就证明了K的最大值为79．评注对于这样的数学问题，我们经常需要先找出一个结果，然后再去寻找更好的结果或者证明这个结果就是正确

7、的结果．例4一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77或707这样只含有数字7和0的数，并且进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“？”键多少次?答案21次．分析每一个数字7可能表示7、70、700、7000、70000等．那么我们就应该把222222分成若干个这样的数之和，有多少个这样的数，就要按多少个数字“？”详解222222=70000+70000+70000+70000+700+700+700+700+700+700+700+70+70+70+70+7+7+7+7+7+7．所以

8、最少要按“？”键21次．评注实际上，我们用222222除以7，等于31746，就很容易发现至少需要按3+l+7+4+6=21个“？”键．大家不妨自己思考一下!例510位小学生的平