分式的运算例题讲解

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1、15.2 分式的运算1.分式的乘除(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.用式子表示为:·=.(2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为:÷=·=.分式的除法要转化为乘法,然后根据乘法法则进行运算,结果要化为最简分式.【例1】计算:(1)·;(2)÷;(3)·;(4)÷(4x2-y2).2.分式的乘方(1)法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.(2)用式子表示:=.解技巧分式的乘方的理解 (1)分式乘方时,分子、分母要乘相同次方;(2)其结果的符号与有理数乘

2、方结果的符号确定方法一样.【例2】计算:(1);(2).3.分式的加减(1)同分母分式相加减:①法则:分母不变,把分子相加减;②用式子表示:±=.(2)异分母分式相加减:①法则:先通分,变为同分母的分式,再加减;②用式子表示:±=±=.警误区分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算,分子加减时要将其作为一个整体进行加减,当分子是多项式时,要添加括号;(2)异分母分式加减运算的关键是先通分,转化为同分母的分式相加减,再根据同分母分式加减法进行运算,通分时要注意最简公分母的确定;(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整

3、式.【例3】计算:(1)+;(2)-;(3)-+;(4)+;(5)-;(6)-a-2.4.整数指数幂一般地,当n是正整数时,a-n=(a≠0).这就是说,a-n(a≠0)是an的倒数.这样引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到全体整数.根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,am÷an=am-n,am·a-n=am+(-n)=am-n,因此am÷an=am·a-n.特别地,=a÷b=a·b-1,所以=(a·b-1)n,即商的乘方可以转化为积的乘方(a·b-1)n.这样,整数指数幂的运算性质可以归纳为:(1)am·an=am+n(m,n是整

4、数);(2)(am)n=amn(m,n是整数);(3)(ab)n=anbn(m,n是整数).【例4】计算:(1);(2)a2b-3(a-1b)3÷(ab)-1.5.科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时,应当表示为a×10n的形式,其中1≤

5、a

6、<10,n为原数整数部分的位数减1;(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时,可以表示为a×10-n的形式,其中n为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零),1≤

7、a

8、<10.提示:用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小.【例5】把下列各数用科学记数法表示出来:(

9、1)650000;(2)-36900000;(3)0.0000021;(4)-0.00000657.6.分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算.谈重点分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同,即从左到右的顺序,有括号先算括号里面的;(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理,以及结果符号的确定;(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式.7.分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同,必须按照运算顺序,先乘方,再乘除,后加减,有括号时先去小括号再去中括号

10、,最后结果要化为最简分式或整式.解技巧分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意:(1)按照运算顺序进行,确定合理的运算顺序是解题的关键;(2)灵活运用交换律、结合律、分配律,可以使运算简捷,而且还可以提高运算速度和准确率;(3)将结果化为最简分式或整式;(4)运算过程中要注意符号的确定.8.把分式化简后再求值分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值.化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算.【例6】计算:÷(x-1)2·.【例7】计算:·.【例8

11、】先化简,再求值:·,其中x=-3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题,关键是理解题意,找准各种量之间的关系,这也是解决数学应用题的基本方法,作差法等也是解决这类问题的常用方法.在判断两分式的差的正负的时候,可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题.作差法举例:若x≠y且x>0,y>0,比较与的大小.【例9】甲、乙两工人生产同一种零件,甲每小时比乙多生产8个,现要求甲生产出168个零件,乙生产出144个零件,则他们两人谁能先完成任务?10.分式混合运算的开放型题运用分式的混合运算解决开放型问题,关键还是进行分式的

12、混合运算,只是题目具有一定的开放性,所以在解决此类问题时,首先还是要正确进行分式的化简,然后还要注意问题的多解的情况.举例:已知P=,Q

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