数学思想方法的综合应用

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1、数学思想方法的综合应用一、高考动向：数学思想和方法是数学知识在更高层次上的慨括。高考对数学思想和方法的考查必然要结合数学知识考查进行，注重通性、通法，淡化技巧。在中学数学教学与高考考查中，共识的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般等思想。数学基本方法有：待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法、数学归纳法等。二、主干知识整合1．函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过

2、函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．2．数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学

3、解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．3．分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方

4、向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．4．化归与转化思想在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想.三、要点热点探究探究点一　列

5、方程（组）解题例1(1)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)A．18B．24C．60D．90(2)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.【分析】(1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p的方程．(1)C　(2)2　【解析】(1)由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d

6、＝0，再由S8＝8a1＋d＝32得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60.故选C.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，联立有得x2－3px＋＝0.又

7、AB

8、＝x1＋x2＋p＝8，解得p＝2.►　探究点二　使用函数方法解决非函数问题例2(1)已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5，则数列{an}前n项和Sn的最大值是________．(2)长度都为2的向量，的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，＝m＋n，则

9、m＋n的最大值是________．【分析】(1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立Sn关于n的函数；(2)将向量坐标化，建立m＋n关于动向量的函数关系．(1)4　(2)　【解析】(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2.Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量＝(2,0)，向量＝(1，)．设向量＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，n)，即2cosα＝

10、2m＋n,2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝sinα.故m＋n＝cosα＋sinα＝sin≤.变式题若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)A．(1，)B．(，)C．[，]D．(，)B　【解析】e2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2