无穷乘积的基本内容与性质的证明

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1、目录一.论文题目……………………………………………………………………1二．中文摘要……………………………………………………………………1三．中文关键词…………………………………………………………………1四．基本内容……………………………………………………………………1五．无穷乘积的性质……………………………………………………………2六．无穷乘积收敛的判别定………………………………………………………3七．例题……………………………………………………………………………6八．英文摘要………………………………………

2、……………………………10九．英文关键词…………………………………………………………………10十．参考文献………………………………………………………………………10-10-无穷乘积的基本内容与性质的证明作者：王圣杰学号：200411010数学科学学院、数学与应用数学、2004级（1）班指导教师：斯钦摘要：本文叙述了无穷乘积的定义及一些基本性质，并且依据无穷乘积与级数的关系以及有关级数理论,对任意项无穷乘积的敛散性包括绝对收敛、进行讨论,并给出了几种敛散性判别法.最后，文章列举了一些有代表性的例题，欧拉公式是

3、非常重要的，特别是欧拉当时的思维过程。关键词：数列，无穷乘积，收敛一．基本内容定义1：对于一个数列将这一列数连乘起来，用记号∏表示如下：称为无穷乘积。其中，。如果将数列中前n个数连乘起来，得则称为部分乘积。令n=1,2,3,…,就得到部分乘积的序列对于这个数列，只可能有三种情形：（ⅰ）存在非零的有穷极限；（ⅱ）极限为零；（ⅲ）发散，即不趋向任何有穷极限。在第（ⅰ）种情形下，称无穷乘积为收敛的，并称P为这个乘积的值，记为而在第（ⅱ）种和第（ⅲ）种情形下，称这个无穷乘积为发散-10-的。我们也采用简化记号。这里

4、要指出，将的情况称为无穷乘积发散（于0）完全是为了便于和无穷级数的结果对应起来，而并不是这种情况没有价值或没有意义。定义2：设（）是任意项无穷乘积若级数收敛，则称无穷乘积绝对收敛；若级数收敛，而级数发散，则称无穷乘积条件收敛；在一个无穷乘积中，只要有一个因数为零，那么就得部分乘积序列的极限为零，所以在无穷乘积的讨论中总是恒定（）。二.无穷乘积的性质与无穷级数的通项趋于0是收敛的必要条件一样，有下面的性质1：当无穷乘积收敛时，其通项必收敛于1。证明：。因此，总可以假设从某个n起。为方便起见，将改记为，将无穷乘

5、积改记为，并假设，（）性质2：若无穷乘积收敛，记，它与无穷级数的余项相似，称为余乘积。则证明-10-三.无穷乘积收敛的判别定理定理1：无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛。证明：先证必要性，以表示级数的部分和，假设，以表示级数的部分和，即有===，再由对数函数的连续性：===，所以级数收敛，且收敛于；再证充分性，假设级数收敛于有限极限L，即则由=知，又由指数函数的连续性，有所以级数收敛，且收敛于；并且由上面的证明知道。定理2：若从某个n起，则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛。（若该级数发散，则无穷乘积为

6、。）证明：必要性由收敛，得知以及同号级数收敛。又由按比较别法得收敛。充分性由收敛及级数收敛的必要条件得又由-10-故收敛，由定理1即知收敛。若级数发散，由知级数也发散，且发散到，而.由及对数函数的连续性知定理3：若从某个n起，则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛。（若该级数发散，则无穷乘积为0。）证明：必要性由收敛，得知以及同号级数收敛。又由按比较别法得收敛。充分性由收敛及级数收敛的必要条件得又由故收敛，由定理1即知收敛。若级数发散，由知级数也发散，且发散到，而.由及对数函数的连续性知定理4：若变号，但已

7、知级数收敛，则当级数收敛时无穷乘积收敛，当级数发散时无穷乘积发散于零-10-证明由于收敛，，于是有由已知收敛，按比较判别法，正项级数收敛。再由已知条件收敛，得收敛。这样就证明了收敛。由于收敛，，于是有由已知发散，且发散到，按比较判别法，正项级数发散，且发散到。再由已知条件收敛，得发散到且发散到，这样就证明了发散于0。定理5：若无穷乘积收敛，则称无穷乘积绝对收敛。绝对收敛的级数一定收敛，反之未必成立。证明：若无穷乘积绝对收敛，即无穷乘积收敛，由定理2知，收敛，从而收敛，再由定理2得收敛，所以绝对收敛的级数一定

8、收敛。但反之不然，例如：无穷乘积收敛，但是乘积是发散的。四．例题例1：若不是非负整数，则存在非零常数，使得-10-成立证明：引入记号则只要证明有非零极限，对于数列写出一个无穷乘积，使得他的部分乘积数列就是，即，，，从而就有，于是问题就变为证明右边的无穷乘积收敛。例2：设为单调减少的正数数列，则的充分必要条件是级数发散。证明：将题中的级数通项计为，从条件，与上题一样，将数列的极限与一个无穷乘积联系起来：，目前关心的