无穷乘积地收敛性.doc

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1、无穷乘积的收敛性郭州雄（数学与信息科学学院西北师大学730070）摘要在无穷乘积的研究中，确定无穷乘积的敛散性问题是一个很重要的问题，本文通过无穷级数与无穷乘积的关系浅谈一下判断无穷乘积敛散性的一些方法。关键词无穷乘积无穷级数Theabstractintheinfiniteproductresearch,determinedtheinfiniteproductcollectsthedivergencequestionisaveryimportantquestion,thisarticlethroughtheinfiniteseries

2、andtheinfiniteproductrelationsdiscussedshallowlyjudgestheinfiniteproducttocollectthedivergencesomemethods.Keywordinfiniteproductinfiniteseries一预备知识定义1设（0）是无穷可列个实数，我们称他们的“积”......为无穷乘积，记为，其中称为无穷乘积的通项或一般项.从定义我们可以看出，这里有无穷多个实数相乘，当然我们无法对无穷多个实数逐一地进行乘法运算，所以必须对无穷乘积求积给出一个合理地定义，为

3、此构作无穷乘积的部分积数列：定义2如果部分积数列收敛于一个非零的有限数，则称无穷乘积收敛，且称为它的积，记为=，如果发散或收敛于零，则称无穷乘积发散。注意这里当时，我们称无穷乘积发散于0，而不是收敛于0，以后我们将会看到这样做的好处仅仅是使无穷乘积的收敛性和无穷级数的收敛性统一，下面给出无穷乘积收敛的一个必要条件：定理1如果无穷乘积收敛，则（1）（2）证明设无穷乘积的部分积数列为，则证毕由定理1知，若无穷乘积的通项不趋于0，则无穷乘积必定发散，而当通项趋于0时，必定在某一项以后大于0，而无穷乘积的收敛性与前面有限项无关，只不过若收敛的

4、话“积”不同罢了，所以下面我们假定无穷乘积的通项，而下面的定理将无穷乘积与无穷级数的敛散性统一起来：定理2无穷乘积收敛的充分必要条件是无穷级数收敛。证明：设无穷乘积的部分积数列为，无穷级数的部分和数列为，则=所以收敛的充分必要条件是收敛，而收敛于0，既发散于0的充分必要条件是发散于。由定理2，我们建立了与之间的关系，于是我们可以通过判断无穷级数的敛散性来判断无穷乘积的敛散性，下面给出两个重要的推论：推论1设（或），则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛。证明：显然级数与级数都是正项级数或都是负项级数，它们都以为收敛的必要条件，而当时，

5、我们有于是由正项级数的比较判别法，级数收敛的充分必要条件是收敛。证毕推论2设级数收敛，则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛。证明：由收敛，可知，由及，根据正项级数的比较判别法，当与收敛时，必有的收敛性，反过来，当收敛时，由于的收敛性，必定可得到的收敛性。证毕我们由定理2可以看到，要判断一个无穷乘积的敛散性我们只需要判断对应的级数的敛散性，而由推论1及推论2可以看到正项级数在数项级数中占有重要的地位，于是我们先讨论正项级数的判别法，进而再讨论一般的数项级数的判别法.二正项级数的判别法定理3（正项级数的收敛原理）正项级数收敛的充分必要条

6、件是它的部分和数列有上界。定理4（比较判别法）设与是两个正项级数，若存在常数A，成立则（1）当收敛时，也收敛（2）当发散时，也发散。证明：设级数的部分和数列为，级数的部分和数列为，则显然有于是当有上界时，也有上界，而当无上界时，必定无上界。证毕定理（比较判别法的极限形式）设与是两个正项级数，如果与是同阶无穷小量，即则与同时收敛或同时发散。证明：由，取，则存在自然数N，当时，由定理4，即得所需结论，证毕定理5（1）若收敛，则有收敛，其中；（2）若发散，则有发散，其中。证明：（1）令，显然，因为收敛，所以收敛（2）若发散，令，显然，而由的

7、发散性，得到的发散性。证毕由定理5可以看出，一切正项级数均可以用比较判别法判定，但问题是要找到一个合适的比较对象却很难，但是基于比较判别法，我们可以得到很多判别法，尽管这些判别法都有一定的局限性，但它们给我们判别正项级数的敛散性带来了极大的方便，如果我们把比较对象取为级数，则可得到下面的对数判别法：定理6（对数判别法）若有，使得当时，则级数收敛；若时，则级数发散。证明：若，则或，由于级数收敛，故级数也收敛若，则或。由于级数发散，故级数也发散.证毕如果我们把比较对象取为几何级数，则可得到下面的判别法：定理7设是正项级数，，则（1）当r<

8、1，级数收敛；（2）当r>1，级数发散（3）当r=1，判别法失效，级数既可能收敛，也可能发散。证明：当r<1时，取q满足rN，成立，从而，由定理4可知收敛当r>1，由于r是数列的极限点，可知