高数下论文-无穷级数收敛性.doc

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1、高数下论文-无穷级数收敛性WuhanInstitul高等数学论文论文题级数敛散性判别方法的归纳姓名：冯菲菲院系：电气信息学院专业：电子信息T程指导老师：费腾时间：2013年5月摘要：无穷级数是《高等数学》屮的-•个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，日前，无穷级数（2经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究小亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，木文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定

2、的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲日性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往川一•种简单的方法就可以轻松解题，却川较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使川条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.一.级数收敛的概念和基木性质给定一个数列（un）,形如ulu2un①称为无穷级数（常简称级数），川un表示。无穷级

3、数①的前n项之和，记为n1snun二uuu②12nnIn称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列{s}收敛于s.则称无穷级数un收敛，若级数的部分和发散则称级数vn发nn1散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出人家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1若级数un和vn都收敛，则对任意的常数c和d,级数（cundvn）亦收敛，且（cundun）=cun+dvn定理2去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3在收敛级数的项屮任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4级数①收敛的充要条件是：任给>0,总存在自然数N,使得当m>N和任

4、意的自然数P，都有iim1uni2unip<以上是收敛级数的判别所需的一些最基木定理，但是，在处理实际问题屮，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论屮必须建立一•系列的判别法，这就是木文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二.正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{sn}W界，即存在某正整数M,对一切正整数nWsnN都有unvn,则(i)级数vn收敛，则级数un也收敛；(ii)若级

5、数un发散，则级数v门也发散。例1•设沏收敛，证明：2n1n2an收敛(an>0).nlnn1212)证明：因为00,则Nx>0,当n>Nx时，0〈〈，此时sin0,且{sin}n2nnx为单调递减数列，且limsin二0。nnx由莱布尼茨判别法知(l)sin(x0)收敛。rm1而当n>Nx时，(Dnsinxx二sin>0,l

6、imnnnnsinx二1xx又发散，由比较判别法知sin也发散。nnInn1x所以X0,级数(1)sin(X0)都是条件收敛的。nn1111例3.证明级数[e(1)]收敛l!2!n!n11111证：0

7、切n>N0，成立不等式un1<1,则级数m收敛。(ii)若对一切n>NO，成立不等式门1则级数un发散。n2例1•判别级数n的敛散性。2n21解：因为limunli=1nn22n2所以由根式判别法知级数n收敛。23达朗贝尔判别法(比值判别法)设un为正项级数，且存在某正整数NO及常数q(OVqVl).(i)若对一切n>NO,成立不等式un1(ii)若对一切n>NO,q,则级数un收敛。un成立不等式un11则级数un发散。un3nn!例1•判别级数n的敛散性。n3un13n1(n1)!nn3