高数选修(无穷级数

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1、章节第八章日期重点难点第八章无穷级数一．级数敛散性的判别1．基本性质（1）级数各项同乘以一个非零常数后其敛散性不变；（2）收敛级数可逐项相加或相减；（3）若两级数中一个收敛一个发散，则必发散；（4）若二级数都发散，不一定发散；（5）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性；（6）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和；（7）若加括号后的级数发散，则原级数必发散；（8）级数收敛的必要条件：2．正项级数的主要审敛法（1）比较审敛法：设，则有：①若强级数收敛，则弱级数也收敛（强收敛则弱收敛）；②若弱级数发散，则强级数也发散（弱发散则强

2、发散）。（2）比较审敛法的极限形式：若，则有：①当时，两个级数同时收敛或发散；②当且收敛时，也收敛；③当且发散时，也发散112章节（续）日期重点难点（3）比值审敛法：设为正项级数，且，则：①当时，级数收敛；②当或时，级数发散；③当时，级数可能收敛也可能发散，须用其它方法判别。（4）根值审敛法：设为正项级数，且，则：①当时，级数收敛；②当或时，级数发散；③当时，级数可能收敛也可能发散，须用其它方法判别。3．几个重要级数（1）几何级数（等比级数）：当时收敛；时发散；（2）级数：当时收敛，当时发散（时为调和级数）；（3）常用的还有：，当或且时收敛；

3、当或且时发散。4．交错级数判别法莱布尼兹判别法：若交错级数满足：1）；2）则级数收敛，且其和，其余项满足：。5．绝对收敛与条件收敛对任意项级数，若收敛，则称原级数绝对收敛；若原级数收敛，但取绝对值后的级数发散，则称原级数条件收敛。112章节（续）日期重点难点例1．（96研）设且收敛，常数，则级数（）A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性与有关解：注意到：1）2）若正项级数收敛，则也收敛而所讨论级数取绝对值后的级数为，利用比较审敛法的极限形式有：则由收敛知收敛，则原极数绝对收敛，选A。例2．（04研）设为正项级数，下列结论中正确的是（）A．

4、若，则级数收敛；B．若存在非零常数，使得，则级数发散；C．若级数收敛，则D．若级数发散，则存在非零常数，使得。解：A．若，即，但不一定收敛，如：，但发散；112章节（续）日期重点难点B．，即，由比较审敛法的极限形式知与同样发散；C．级数收敛并不能确定，即，如：时是收敛的；D．发散不一定有存在，如，发散，但；综上所述，知应选B。二．幂级数的收敛域与和函数1．收敛半径：2．幂级数收敛的特点：幂级数在内绝对收敛；逐项求导与逐项积分后所得幂级数的收敛半径不变。3．幂级数的运算：1）2），其中以上二运算后的收敛半径均取原二级数中收敛半径小的那个。4．和

5、函数：112章节（续）日期重点难点5．和函数的性质：1）和函数在收敛域内可导，有逐项求导公式，且求导所得幂级数的收敛半径不变；由此，和函数在收敛域内任意次可导，并有逐项求导公式，收敛半径不变；2）和函数在收敛域内积分公式成立，积分后收敛半径不变；3）若在处收敛，则该幂级数：①②可在上逐项积分：③逐项求导后的级数在处可能发散；4）若在处发散，则逐项求导后的级数在该处一定发散，但逐项积分后的级数在该处可能收敛。例1．设幂级数的收敛半径为3，求幂级数的收敛区间。解：令，有：由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，故，的收敛半径亦为3，收敛

6、区间为（-3，3），则原幂级数的收敛区间为（-2，4）。112章节（续）日期重点难点例2．（1）验证函数满足微分方程；（2）利用（1）的结果求幂级数的和函数。解：（1）首先验证该幂级数的收敛区间是，这是缺项幂级数，令，则原级数∵∴时原级数收敛；∵在收敛区间内可对级数求任意阶导数，有：∴（2）∵幂级数的和函数满足微分方程：又已知：112章节（续）日期重点难点112∴求和函数的问题转化为求解已知定解条件的微分方程问题对应该微分方程的特征方程为：相应齐次方程的通解为：设非齐次方程的特解为：代入原方程有：则非齐次方程的通解为：代入初始条件有：∴例3．

7、（05研）求幂级数的收敛区间与和函数。解：这是缺项幂级数，令，讨论∵∴的收敛半径为1，则原级数的收敛半径亦为1，收敛区间为（-1，1）再求和函数：∵原级数∴章节（续）日期重点112难点注意到初始条件为：，积分两次有：∴三．数值级数求和1．章节（续）日期重点112难点四．求函数的幂级数展开式1．泰勒级数若函数在的某邻域内具有任意阶导数，则级数：即：称为在点的泰勒级数。2．若，则可得麦克劳林级数：3．常用幂级数展开式并可由此推出：章节（续）日期重点112难点4．函数展开成幂级数的直接展开法求的各阶导数在0点的值，再按泰勒或麦克劳林级数写出展开式。

8、5．函数展开成幂级数的间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质，将所给函数展开成幂级数。例1．（06研）将函数展开成的幂级数。解：∵，且：∴另函数也可化