高数第六章 无穷级数

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1、第六章无穷级数无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而

2、必须建立一套严格的理论.定义1给定一个数列，将它的各项依次用“”号连接起来的表达式(6-1-1)称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为，其中，都称为级数(6-1-1)的项，称为级数(6-1-1)的一般项或通项.级数是“无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和”的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。设级数的前项的和为，即(6-1-2)或.我们称为级数的前n项部分和，简称部分和.显然，级数的所有前n项部分和构成一个数列，我们称此数列为级数的部分和数列.定义2若级数

3、的部分和数列收敛于（即），则称级数收敛，称为级数的和，记作.而称为级数的余项，显然有.若是发散数列，则称级数发散，此时级数没有和.由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式.例1设为非零常数，无穷级数(6-1-3)称为等比级数（又称为几何级数），q称为级数的公比.试讨论级数的敛散性.解若，则.当时，由于，从而，因此这时级数收敛，其和为；当时，由于，从而，这时级数发散；当时，若，这时，因此级数发散；若，这时级数成为，

4、显然随着为奇数或为偶数而等于或等于零，从而的极限不存在，因此级数发散.综上所述，对于等比级数，当公比的绝对值时级数收敛；当时级数发散.例2证明级数收敛，并求其和.解由于，因此.从而，所以该级数收敛，它的和为.例3证明级数是发散的.证该级数的部分和为.显然，部分和数列是单调增加的数列，要证明调和级数发散，仅须证明其部分和数列无上界即可.事实上假设成立，则.于是.由归纳法，对一切正整数有.由极限的性质，有.故调和级数发散.一、常数项级数的性质性质1若级数收敛于和为任意常数，则也收敛，且其和为.证设级数与级数的部分和

5、分别为与，显然有.于是.这表明级数收敛，且和为.需要指出，若级数发散，即无极限，且为非零常数，那么{}也不可能存在极限，即也发散.因此可以得出如下结论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变.上述性质的结果可以改写为（为常数），即收敛级数满足分配律.性质2若级数，分别收敛于，则级数也收敛，且其和为.可以利用数列极限的运算法则给出证明.性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减.性质3在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.证只需证明“去掉、改变级数前面的有限项，或在级数前面增

6、加有限项，不会改变级数的敛散性”.设将级数的前项去掉，得新的级数此级数的前项部分和为，其中是原来级数的前项的和.因为是常数，所以当时，与或同时存在极限，或同时不存在极限.类似地，可以证明改变级数前面的有限项或在级数的前面加上有限项，不会改变级数的敛散性.性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛，且其和不变.证设级数的部分和为，加括弧后的级数（把每一括弧内的项之和视为一项）为设其前项之和为，则有，，，可见数列是数列的一个子列，由收敛数列与其子列的关系可知，数列必定收敛，且有，即加括弧后所成的级数收敛，且其和不变.注

7、意若加括弧后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.例如，收敛于零，但级数却是发散的.推论若加括弧后所成的级数发散，则原来的级数也发散.性质5（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则它的一般项趋于零，即.证设级数的部分和为，且，则.由性质5可知，若时级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散.例如，级数的一般项当时，不趋于零，因此该级数是发散的.注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例如，在例3中讨论的调和级数，虽然它的一般项，但它是发散的.*三、柯西审敛原理因为级数的敛散性与它的部分和数列的敛散性是等价

8、的，故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理.定理1［柯西（Cauchy）审敛原理］级数收敛的充分必要条件为：，总存在自然数，使得当时，对于任意的自然数，都有成立.证设级数的部分和为，因为，所以，由数列的柯西审敛原理，即得本定理结论.例4利用柯西审敛原理证明级数收敛.证对任意自然数，都有.于是，对，，当时，对任意的自然数都有，从而该级数收敛.例5证明级数发散.证对任意自然数，都有.特别地取