高数-无穷级数练习

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1、班级姓名学号第十一章无穷级数习题11－11、用级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性∞1(1)∑n=1n+1+n解：设前n项部分和为S，则nnn1limS=lim=lim(i+1−i)=lim(n+1−1)=∞n∑∑n→∞n→∞i+1+in→∞n→∞i=1i=1∞1由级数敛散性定义知：级数∑发散。n=1n+1+n∞n(2)∑(n+1)!n=1解：设前n项部分和为S，则nnnnii+1−1111limS=lim=lim=lim(−)=lim(1−)=1n∑∑∑n→∞n→∞i=1(i+1)!n→∞i=1(i+1)!n→∞i=1i!(i+1)!n→∞(n+1)!∞n由级数敛散性定义知：级

2、数∑收敛。n=1(n+1)!∞n+1−n(3)∑2n=1n+n解：设前n项部分和为S，则nnni+1−i111limS=lim=lim(−)=lim(1−)=1n∑∑n→∞n→∞i2in→∞ii+1n→∞n+1i=1+i=1∞n+1−n由级数敛散性定义知：级数∑收敛。2n=1n+n111(4)++L++L1×33×5(2n−1)(2n+1)解：设前n项部分和为S，则nnn11111limS=lim=lim(−)=lim(1−)=1n∑∑n→∞n→∞i=1(2i−1)(2i+1)2n→∞i=12i−12i+1n→∞2n+1由级数敛散性定义知：原级数收敛。55班级姓名学号2、判断下列级数

3、的敛散性111111(1)(+)+(+)+(+)+L2233232323∞∞1111解：因为级数∑n和∑n都是几何级数，且公比分别为和，即公比绝对值小于n=12n=1323∞∞111，则级数∑n和∑n都收敛，由级数的性质得n=12n=13∞11原级数∑(+)收敛nnn=123∞n+1(2)∑nn=1解：因为n+1lim=1n→∞n∞n+1即级数的一般项不趋于零，由级数收敛的必要条件，得级数∑发散。n=1n∞n(3)∑3lna(a>0)n=1∞n解：由于级数∑3lna是几何级数，其公比是lna，因此n=1∞−1n当

4、lna

5、<1，即e

6、l

7、na

8、≥1，即00)的部分和为Sn，vn=，且∑vn收敛，试讨论级数∑un的敛Sn=1nn=1n=1散性。∞证明：由于级数u为正项级数，则其部分和S单调增加的，∑nnn=1∞1又级数v是收敛的，则limv=0，且v=∑nnnn→∞Sn=1n即limS=∞n

9、n→∞∞级数u发散。∑nn=1习题11－21、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性1+21+3(1)1+++L221+21+3解：设级数一般项为u，则n1+nn1u=>=n2n2n22n1+n+∞∞∞1111又级数∑发散，由级数性质知：级数∑=∑发散，再由比较审敛法得n=1n2n=1nn=12n∞1+n原级数∑发散。2n=11+n∞4n−3(2)∑n(2n+1)(2n−1)n=1解：因为4n−314n−32lim=limn=1n→∞n(2n+1)(2n−1)n2n→∞n(2n+1)(2n−1)∞1而级数∑收敛，由比较审敛法的极限形式知：2n=1n∞4n−3原级数∑收敛。n=1

10、n(2n+1)(2n−1)57班级姓名学号πππ(3)sin+sin+L+sin+L2n222解：因为π1ππlimsin=πlimsin=πn→∞2n2nn→∞2n2n∞1而级数∑是公比小于1的几何级数，收敛。由比较审敛法的极限形式知：nn=12πππ原级数sin+sin+L+sin+L收敛。2n222∞1(4)∑nn=1nn解：因为111lim=lim=1n→∞nnnnn→∞nn∞1而级数∑发散。由比较审敛法的极限形式知n=1n∞1原级数∑发散。nn=1nn2、用比值法或根值法判断下列级数的敛散性∞n1000(1)∑n!n=1解：设级数的一般项为u，因为nn+1un+11000n

11、!1000lim=lim⋅=lim=0<1n→∞un→∞(n+1)!1000nn→∞n+1n由比值审敛法知：∞n1000级数∑收敛。n=1n!∞n2(2)∑3n=1n解：因为n+12un+12nn2lim=lim⋅=2lim()=2>1n→∞un→∞(n+1)22nn→∞n+1n由比值审敛法知：∞n2级数∑发散。3n=1n58班级姓名学号∞4n(3)∑n!n=1解：因为4un+1(n+1)n!1n+14lim=lim⋅=lim()=0<1n→∞un→∞(n