高数 微积分(b) 无穷级数练习题

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1、2013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章无穷级数一、选择题1.若,则级数………………………………………………………()A.收敛且和为0B.收敛但和不一定为0C.发散D.可能收敛也可能发散2.下列级数发散的是……………………………………………………………………()A.B.C.D.3.设无穷级数收敛,则在下列数值中的取值为……………………………()A.B.C.D.4.若,则级数的收敛半径等于…………………………()A.B.C.D.5.幂级数的收敛区域是……………………………………………()A.B.C.D.6.设幂级数在处收敛,则该级数在点处……………………

2、…()A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.可能收敛也可能发散7.无穷级数的和为…………………………………………………………………()A.B.C.D.8.展成的幂级数是………………………………………………………………()A.B.C.D.二、填空题71.若级数收敛于,则级数收敛于  .2.设为常数,若级数收敛,则   .3.部分和数列有界是正项级数收敛的 条件.4.若级数收敛,则的取值范围是  .5.若级数条件收敛,则级数的敛散性为  .6.幂级数的收敛半径为  .7.设幂级数的收敛半径为,则级数的收敛区间为   .8.  .三、解答与证明题1.证明级数收敛并求其和

3、.2.判断下列级数的敛散性.(1);(2);(3);(4); (5);(4);      (7);(8);    (9);    (10).3.下列级数哪些是绝对收敛的?哪些是条件收敛的?7(1);  (2);(3).4.求下列幂级数的收敛半径和收敛域.(1);    (2);    (3).5.求级数的收敛域并求和.6.利用已知展开式展开下列函数为的幂级数并确定收敛域.(1);  (2);  (3).72013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章参考答案一、选择题1.D;2.C;3.A;4.C;5.A;6.A;7.B;8.C.二、填空题1.;2.;3.充

4、要; 4.; 5.发散; 6.;7.;8..三、解答与证明题1..2.(1)因,由级数的收敛的必要条件,该级数发散.或者由于,且发散,故由比较判别法,该级数发散.(2)由于,且收敛,故由比较判别法,该级数收敛.(3)由于,且发散,故由比较判别法的极限形式,该级数发散.(4)由于,且收敛,故由比较判别法,该级数收敛.(5),故由比值判别法(达朗贝尔判别法),级数收敛.(6)7,则由比值判别法,该级数发散.(7),故由比值判别法,该级数发散.(8)由于,故由根值判别法(柯西判别法),该级数收敛.(9),故由根值判别法,该级数收敛.(10)由于,且,根据两边夹法则知,

5、故,由根值判别法,该级数收敛.3.(1)这是交错级数,,,又,由莱布尼兹判别法知故原级数收敛.因取绝对值后的级数通过比较判别法易知其发散,故原级数条件收敛;(2)各项取绝对值后得级数,因,及级数收敛,由比较判别法知级数收敛,所以原级数绝对收敛.(3)各项取绝对值后得级数,对此正项级数用比值审敛法,有,故级数收敛,所以原级数绝对收敛.4.(1),于是该级数的收敛半径为,收敛区间为.当时,该级数为,括号内是调和级数,发散,7当时,该级数为,这是交错级数,满足莱布尼兹判别法收敛条件,故收敛.所以该级数的收敛区间为;(2),于是该级数的收敛半径为,则该级数仅在处收敛;(

6、3), 于是该级数的收敛半径为,收敛区间为.当时,幂级数成为,是发散的;当时,幂级数成为,是发散的.因此收敛域为.5.,则由达朗贝尔判别法,当时,级数收敛;当时,级数发散,因此收敛半径.因时,得与,根据莱布尼兹判别法, 这两个数项级数都收敛,故收敛域为.设,由幂级数的性质,有,,,.6.(1),.(2)7,.(3),.7

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