高数 微积分(b) 无穷级数练习题

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1、2013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章无穷级数一、选择题1.若，则级数………………………………………………………（）A.收敛且和为0B.收敛但和不一定为0C.发散D.可能收敛也可能发散2.下列级数发散的是……………………………………………………………………（）A.B.C.D.3.设无穷级数收敛，则在下列数值中的取值为……………………………（）A.B.C.D.4.若，则级数的收敛半径等于…………………………（）A.B.C.D.5.幂级数的收敛区域是……………………………………………（）A.B.C.D.6.设幂级数在处收敛，则该

2、级数在点处………………………（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.可能收敛也可能发散7.无穷级数的和为…………………………………………………………………（）A.B.C.D.8.展成的幂级数是………………………………………………………………（）A.B.C.D.二、填空题71.若级数收敛于，则级数收敛于　　．2.设为常数,若级数收敛，则　　　．3.部分和数列有界是正项级数收敛的　条件．4.若级数收敛，则的取值范围是　　．5.若级数条件收敛，则级数的敛散性为　　．6.幂级数的收敛半径为　　．7.设幂级数的收敛半径为，则级数的收敛区间为　　　

3、．8.　　．三、解答与证明题1．证明级数收敛并求其和．2．判断下列级数的敛散性．（1）；（2）；（3）；（4）；　（5）；（4）；　　　　　　（7）；（8）；　　　　（9）；　　　　（10）．3．下列级数哪些是绝对收敛的？哪些是条件收敛的？7（1）；　　（2）；（3）．4．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．（1）；　　　　（2）；　　　　（3）．5．求级数的收敛域并求和．6．利用已知展开式展开下列函数为的幂级数并确定收敛域．（1）；　　（2）；　　（3）．72013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章参考答案一、选择题1.D；2.C

4、；3.A；4.C；5.A；6.A；7.B；8.C．二、填空题1.；2.；3.充要；　4.；　5.发散；　6.；7.；8.．三、解答与证明题1．．2．（1）因，由级数的收敛的必要条件，该级数发散．或者由于，且发散，故由比较判别法，该级数发散．（2）由于，且收敛，故由比较判别法，该级数收敛．（3）由于，且发散，故由比较判别法的极限形式，该级数发散．（4）由于，且收敛，故由比较判别法，该级数收敛．（5），故由比值判别法（达朗贝尔判别法），级数收敛．（6）7，则由比值判别法，该级数发散．（7），故由比值判别法，该级数发散．（8）由于，故由根值判

5、别法（柯西判别法），该级数收敛．（9），故由根值判别法，该级数收敛．（10）由于，且，根据两边夹法则知，故，由根值判别法，该级数收敛．3．（1）这是交错级数，，，又，由莱布尼兹判别法知故原级数收敛．因取绝对值后的级数通过比较判别法易知其发散，故原级数条件收敛；（2）各项取绝对值后得级数，因，及级数收敛，由比较判别法知级数收敛，所以原级数绝对收敛．（3）各项取绝对值后得级数，对此正项级数用比值审敛法，有，故级数收敛，所以原级数绝对收敛．4．（1），于是该级数的收敛半径为，收敛区间为．当时，该级数为，括号内是调和级数，发散，7当时，该级数为

6、，这是交错级数，满足莱布尼兹判别法收敛条件，故收敛．所以该级数的收敛区间为；（2），于是该级数的收敛半径为，则该级数仅在处收敛；（3），　于是该级数的收敛半径为，收敛区间为．当时，幂级数成为，是发散的；当时，幂级数成为，是发散的．因此收敛域为．5．，则由达朗贝尔判别法，当时，级数收敛；当时，级数发散，因此收敛半径．因时，得与，根据莱布尼兹判别法，　这两个数项级数都收敛，故收敛域为．设，由幂级数的性质，有，，，．6．（1），．（2）7，．（3），．7