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《无穷积分的性质与收敛判别》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法§2无穷积分的性质与收敛判别首页×一、无穷积分的性质二、比较判别法任给＞0，首页×一、无穷积分的性质限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.G≥a，只要u1、u2＞G，便有由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于函数F（u）=在u→+∞时是否存在极限.因此由函数极定理11.1无穷积分收敛的充要条件是：存在.为任意常数，则若与都收敛，首页×此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质.证明由于所以收敛只要u1、u2＞G，便有性质1(线性性质)k1、k2也收敛，且存在.首页×记证
2、明则与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有首页×若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b，(2)其中右边第一项是定积分.证明由于收敛存在.又其中右边第一项是定积分，所以与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有.性质2则当时,首页×说明:(1)性质2相当于定积分的积分区间可加性;(2)由性质2及无穷积分的收敛定义可推出收敛的另一充要条件:任给＞0，存在G≥a，当u＞G时，总有事实上，收敛J=当时,当时,.敛，则亦必收敛，并有首页×性质3若f在任何有限区间[a，u]上可积，且有收（3）存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有利用定积分的
3、绝对值不等式，又有证明由收敛，根据柯西准则（必要性），任给.再由柯西准则（充分性），证得收敛.又因，令u→+∞取极限，立刻得到不等式(3).首页×当收敛时，称为绝对收敛,称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.性质3指出：绝对收敛收敛.但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p≤1时条件收敛).则当首页×发散）.这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论).二、比较判别法由于关于上限u是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界.根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写
4、出证明）：定理11.2（比较法则）设定义在[a，+∞]上的两个函数f和g都在任何有限区G(u)间[a，u]可积，且满足收敛时，必收敛（或者，当发散时，首页×证明法一[根据P55习题2结论:设f为定义在上的增(减)函数.则存在的充要条件为f在上有上(下)界].当收敛时,存在.又G(u)单增,从而存在M>0,使得F(u)=即F(u)有上界M.又显然F(u)单增.故存在,从而必收敛.首页×以及法二[利用柯西准则TH11.1]由于收敛,根据柯西准则（必要性）,对任意存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有又因此有根据柯西准则（充分性）,收敛
5、.例1讨论的收敛性解由于为收敛（§1例4），根据比较法则，为绝对收敛.上述比较法则的极限形式如下：首页×（ⅱ）当c=0时，推论1若f和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0,且，则有（ⅰ）当0＜c＜+∞时，与同敛态；由收敛可推知也收敛；（ⅲ）当c=+∞时，由发散可推知也发散.证明(i)对当时,即从而由比较法则结合性质2知,与同敛态.首页×(ii)由对当时,从而从而由比较法则结合性质2知,由收敛可推知也收敛.(iii)由对当时,从而从而由比较法则结合性质2知,由发散可推知也发散.当选用作为比较对象时，比较判别法及其极限形式成为如
6、下两个推论（称为柯西判别法）.＜+∞时，（ⅱ）当p≤1，0＜≤+∞时，首页×推论2设f定义于（ⅰ）当，x∈，且p＞1时收敛；（ⅱ）当，x∈，且p≤1时发散.推论3设f定义于在任何有限区间[a，u]上可积，且（ⅰ）当p＞1，0≤发散.收敛；(a＞0)，且在任何有限区间[a，u]上可积，则有：，则有：=0），推知1）对任何实数都有首页×例2讨论下列无穷限积分的收敛性：1）；2）.是同一回事.1）由于对任何实数都是收敛的.因此根据上述推论3（P=2，2）由于本例中两个被积函数都是非负的，=1，因此根据上述推论3（P=，=1），推知2）
7、是发散的.解故收敛与绝对收敛首页×三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法.若F（u）=在g（x）在上当x→+∞时单调趋于0，收敛.由条件设≤M，u∈任给由于.对于任何u2＞u1＞G，定理11.3（狄利克雷判别法）则证明.＞0，=0，因此存在G≥a，当x＞G时，有又因g为单调函数，利用积分第二中值定理（定理9.10的推论），上有界，首页×存在∈[u1，u2]，使得.于是有=＜.根据柯西准则，证得收敛.□，而当p＞1时收敛，首页×定理11.4（阿贝尔（Abel）判别法）若g（x）在上单调有界，则收
8、敛.利用狄利克雷判别法更方便地获得证明（留作习题例3讨论与（p＞0）的收敛性.下面分两种情形来讨论：（ⅰ）当p＞1时，这是因为这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可10）。解这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论.绝对收敛.收敛，故由比较法则推知收
