§2无穷积分的性质与收敛判别.ppt

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1、三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法§2无穷积分的性质与收敛判别首页×一、无穷积分的性质二、比较判别法任给＞0，首页×一、无穷积分的性质限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.G≥a，只要u1、u2＞G，便有由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于函数F（u）=在u→+∞时是否存在极限.因此由函数极定理11.1无穷积分收敛的充要条件是：存在.柯西收敛准则有定义,则极限存在的充要条件是:任定理3.11设f(x)在的某个邻域上首页×为任意常数，则若与都收敛，首页×性质1(线性性质)k1、k2也收敛，且.与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b，(

2、2)其中右边第一项是定积分.性质2则所以与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有.当时,首页×说明:(1)性质2相当于定积分的积分区间可加性;(2)由性质2及无穷积分的收敛定义可推出收敛的另一充要条件:任给＞0，存在G≥a，当u＞G时，总有事实上，收敛J=当时,当时,.敛，则亦必收敛，并有性质3若f在任何有限区间[a，u]上可积，且有收（3）.当收敛时，称为绝对收敛,称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.性质3指出：绝对收敛收敛.但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例4中当0＜p≤1时条件收敛).则当首页×发散）.二、比较判别法可积，由于关于上限u

3、是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界.根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2（比较法则）设定义在[a，+∞]上的两个非负函数f和g都在任何有限区间[a，u]上可积，且满足收敛时，必收敛（或者，当发散时，设f是定义在[a，+∞)上的非负函数，且在任何有限区间上首页×以及例1讨论的收敛性解由于收敛（§1例4），根据比较法则，为绝对收敛.首页×（ⅱ）当c=0时，推论1若f和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0,且，则有（ⅰ）当0＜c＜+∞时，与同敛态；由收敛可推知也收敛；（ⅲ）当c=+∞时，由发散可推知也发散.上述比较法则的极限形式如下例2讨论的敛散性.＜

4、+∞时，（ⅱ）当p≤1，0＜≤+∞时，首页×推论2设f定义于（ⅰ）当，x∈，且p＞1时收敛；（ⅱ）当，x∈，且p≤1时发散.推论3设f定义于在任何有限区间[a，u]上可积，且（ⅰ）当p＞1，0≤发散.收敛；(a＞0)，且在任何有限区间[a，u]上可积，则有：，则有：=0），推知1）对任何实数都有首页×例3讨论下列无穷限积分的收敛性：1）；2）.是同一回事.1）由于对任何实数都是收敛的.因此根据上述推论3（p=2，2）由于本例中两个被积函数都是非负的，=1，因此根据上述推论3（p=，=1），推知2）是发散的.解故收敛与绝对收敛首页×练习讨论下列无穷限积分的收敛性：1）；2）.

5、3）首页×三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法.若F(u)=在g(x)在上当x→+∞时单调趋于0，收敛.定理11.3（狄利克雷判别法）则上有界，推论首页×定理11.4（阿贝尔（Abel）判别法）若g(x)在上单调有界，则收敛.例4讨论与（p＞0）的收敛性.收敛，首页×例5证明下列无穷积分都是条件收敛的：，，.前两个无穷积分经换元t=x2得到===它们都是条件收敛的.证明说明：从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x→+∞被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛.