力梯度辛方法在圆型限制性三体问题中的应用

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1、摘要在非线性动力学和天体力学的研究过程中，数值计算方法以及混沌的判定方法是研究非线性动力学和天体力学的主要研究方法和工具，所以寻找可靠而且高效的数值方法和混沌判定方法是目前非线性动力学和天体力学研究的重要课题，本论文中的主要研究工作是关于数值计算方法的应用与拓广。力梯度辛算法在精度上往往高于非力梯度辛算法，Ruth在他第一次提出辛算法的思想时将力梯度算子加入势能所对应的Lie算子中，构造了一个不对称的三阶力梯度辛几何算法，相对于标准辛几何算法M4，这种力梯度辛几何算法形式更加简单且精度更高。Suzuki讨论了这种力梯度

2、辛几何算法，指出二阶以上的非力梯度辛几何算法中各子步总有一些不可避免的要使用负步长，但力梯度辛几何算法却可以。考虑到这一思路，Chin等人提出了几种四阶力梯度辛几何算法并将其成功的应用于量子力学和经典力学模型当中，证实了这种力梯度辛几何算法的精度比同阶的传统辛几何算法要高很多。发现它们具有很好的数值性能；另外，本文就运用力梯度辛算法研究了平面圆型限制性三体问题的动力学性质。下面分别简述这些工作。首先，本文从Lie算子运算出发，严格论证了力梯度算子在这种情形下的物理意义仍然象质心惯性坐标系下的圆型限制性三体问题那样是引力

3、的梯度，而不是引力与非惯性力所得合力的梯度，表明了力梯度辛方法适合求解旋转坐标系下的圆型限制性三体问题．通过应用四阶力梯度辛方法、最优化四阶力梯度辛方法和Forest．Ruth辛方法分别求解该问题进行了数值对比研究，结果显示最优化型力梯度算法能够取得最好精度．还应用最优化型算法计算两邻近轨道的Lyapunov指数和快速Lyapunov指标，确保高精度辛方法能够贯穿于这些混沌指标计算的全过程，以便准确刻画此系统的动力学定性性质．分别使用所构造的新型辛算法对有序轨道和混沌轨道进行数值模拟，数值结果表叫无论是在能量误差方面还

4、是在最大Jacobi常数误筹方面，新构造的辛算法精度远远优越于Forest．Ruth的非力梯度四阶辛算法，最优化辛算法具有良好的能量精度。新型辛算法可以推荐到实际计算中。总之，本学位论文的主要工作就是从Lie算子运算出发严格推导了力梯度算摘要子的物理意义仍然是两主天体对第三个小天体引力的梯度，并不是两主天体引力与旋转坐标系所附加非惯性力的合力之梯度．解决了力梯度辛方法在旋转坐标系下的圆型限制性三体问题应用的理论问题．还通过数值试验验证了最优化的力梯度辛方法有最好的精度。还通过数值试验验证了最优化的力梯度辛方法有最好的精

5、度。关键词：辛算法；圆型限制性三体问题；混沌；AbstractABSTRACTItiSveryclearthatchaosindicatorsandnumericalmethodsarethemaintoolsforinvertigatingnonlineardynamicsandcelestialmechanics．Atpresent，itisanimportanttopictofindthereliablenumericalmethodsandchaosidentificationmethods．Ourworksa

6、reextensionandapplicationofforcegradientsymplecticalgorithminthedegreethesis．Sincethekineticenergyofthecircularrestrictedthree-bodyprobleminarotatingframehascontributionsfromthenon-inertialrotatingframe，itisnotastandardpositivequadraticfunctionwithrespecttomomen

7、ta．Inthiscase，theremaybeadifficultyintheapplicationofforcegradientsymplecticintegrators．Toaddressthisproblem，weshowthroughthecalculationofLieoperatorsthattheforcegradientoperatoronthesystemisstillassociatedwiththegradientofthegravitationalforcesfromthetwomainobj

8、ectsratherthanthatoftheresultantforceofboththegravitationalforcesandthenon-inertialforceexertedbytherotatingframe，astheforcegradientoperatoronthecircularrestrictedthr