韦达定理练习精选

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1、1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差:(1)(2)(3)2、已知关于的方程,是否存在负数,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的的值;若不存在,说明理由。3、已知方程,作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。4、解方程组1、在关于的方程中,(1)当两根互为相反数时的值;(2)(2)当一根为零时的值;(3)(3)当两根互为倒数时的值2、求出以一元二次方程的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。3、解方程组4、已知一元二次方程的两个实数根满足,,,分别是的,,的对边。(1)证明方程的两个根都是正根;(

2、2)若,求的度数。9、在中,,斜边AB=10,直角边AC,BC的长是关于的方程的两个实数根,求的值。例题1:(1)若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍,则k=________(2)已知:a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根,求:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=__________解法一:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(1+2000a+a2+6a)(1+2000b+b2+5b)=6a•5b=30ab解法二:由题意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0

3、∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a•5b=30ab解法三:∵ab=1,a+b=-2000∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(ab+2006a+a2)(ab+2005b+b2)=a(b+2006+a)•b(a+2005+b)=a(2006-2000)•b(2005-2000)=30ab例题2:已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x2-(k+2)x+2k=0的两个实数根,另一条边c=1,求:k的值。韦达定理

4、在解题中的应用一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a+b和a·b形式的式子,可考虑直接应用韦达定理.例1已知a+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+b的值.二、先恒等变形,再应用韦达定理若已知条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如a+b、a·b形式的式子,则可考虑应用韦达定理.例2若实数x、y、z满足x=6-y,z2=xy-9.求证:x=y.三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系),可考虑用韦达定理例3已知方程x2+px+q=0的二根之比为1∶2,方程的判别式的值为1.求

5、p与q之值,解此方程.例4设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:p=q或p+q=-4.证明:设方程x2+px+q=0的两根为α、β,x2+qx+P=0的两根为α'、β'.由题意知α-β=α'-β',故有α2-2αβ+β2=α'2-2α'β'+β'2.从而有(α+β)2-4αβ=(α'+β')2-4α'β'.①把②代入①,有p2-4q=q2-4p,即p2-q2+4p-4q=0,即(p+q)(p-q)+4(p-q)=0,即(p-q)(p+q+4)=0.故p-q=0或p+q+4=0,即p=q或p+q=-4.四

6、、关于两个一元二次方程有公共根的题目,可考虑用韦达定理例5当m为问值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根.解:设公共根为α,易知,原方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α;x2-4x-(m-1)=0的两根为α、4-α.由韦达定理,得α(m+α)=3,①α(4-α)=-(m-1).②由②得m=1-4α+α2,③把③代入①得α3-3α2+α-3=0,即(α-3)(α2+1)=0.∵α2+1>0,∴α-3=0即α=3.把α=3代入③,得m=-2.故当m=-2时,两个已知方程有一个公共根,这个公

7、共根为3.

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