97指考数学甲非选择题作答情形分析

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1、97指考數學甲非選擇題作答情形分析編者按：97指考非選擇題評分標準說明系列報導，以數學考科壓軸，為此系列報導畫下句點。本期邀請本中心數學考科兩位學科研究員撰文，提供數學甲、數學乙的非選擇題評分標準說明及考生作答情形分析，請關心高中教育的各界參考。第一處朱惠文表一為93至97年數學甲非選擇題得零分及滿分的考生人數與人數百分比。今年非選擇題零分人數百分比為28%，僅次於93年的33%。但今年的滿分人數卻是最多的一年，為12%。以下嘗試從試題主觀的數學內容，及考生客觀的答題反應，找出為何今年非選擇題零分與滿分人數均較多的原因，其中有關考生的作答情形，是

2、從參與97年數學甲考生群中，隨機抽樣611份試卷進行分析。至於各題的正確解法，請詳見選才電子報第168期「我的數學科非選擇題得分了嗎？」。表一、93至97年數學甲非選擇題零分、滿分統計表零分滿分年度人數百分比人數百分比9712,23928%503012%967,90117%11132%952,5825%680.12%943,9107%12782%9319,21133%46278%【第一題題目】(12分)設p()x為三次實係數多項式函數，其圖形通過(1,3),(1,5)−兩點。若p()x的圖形在點(1,3)的切線斜率為7，而在點(1,5)−的切線斜

3、率為−5，試求p()x。試題統計值：項目平均得分〈得分率〉標準差統計值6.54〈54.5%〉5.49說明：本題評量三次實係數多項式函數的圖形與其導數間的關係。正確解題步驟分為三步，第一步驟為根據題意假設p()x或p'()x，並將題目所給數值代入，寫出方程式，例如：p(1)==+++3abcd32設p()xa=+++xbxcxd，得p(1)5−==−+−+abcd或p'(1)==++7abc2設p'()xa=++xbxc，得；p'(1)−=−=−+5abc亦可利用餘式定理，例如設px()=(x−+++1)[(x1)(kxqr)]3+等作

4、法，只要列式正確，即可得到分數。第二步驟則依據前面所設函數進行微分或是積分，再根據題意寫出另兩個方程式，例322如：若第一步設p()xa=+++xbxcxd，將p()x微分，得p'()xa=3xb++2xc，再根據題意得p'(1)==++73abc2。第三步驟為解第一步與第二步列出的聯立方程式，並寫出正確的p'(1)−=−=−+53abc232p()xxxx=+−+321。分析抽樣卷考生的作答結果（見表二），約10.1%的考生放棄作答。解32法中，以列出p(x)ax=+++bxcxd居多（約70%），其中有些考生誤將p()x設成323233

5、p()xa=++xbxc、p()xa=++xbxcx、p()xa=xb++xc或p()xxp=++xq，這些考生知道要設三次多項式，但並不知道何謂三次多項式，或是因為粗心，少設了二次項、一次項或是常數項；有些則不清楚多項式函數與多項式方程式的差別，故設成32px()=+++=axbxcxd0。至於第二步驟，能寫出正確多項式者，多半能正確的微分與積分，22僅有少部分同學不會微分或積分，例如將微分式寫成22ax+bxc+、22ax+bx、32ax++bxc。約62%考生會列出正確的三次多項式、微分，這群考生中，約10%能列出正確的聯立方程組，但解聯立

6、方程式解時，卻解錯，是很可惜的，約47.3%考生能完全作對。另外，抽樣考生中有3位32直接認定p()x的首項係數為1，即假設p()x=x+++bxcxd，其中有一位同學能寫出正確的四個三元一次聯立方程式，亦得出正確答案，但未說明為何此三次多項式的首項係數除了1以外，沒有其他可能情形，這其實是觀念上的嚴重錯誤，因此即使最後答案正確，仍無法得到全部分數。抽樣考生中，有34位同學能求出bd,的關係式或是正確的b、d值，例如列出322p()xa=+++xbxcxd，但進行微分時，誤認為p'()xa=xb++2xc，此時雖能求出正確的b、d值，但仍無法寫出

7、完整且正確的p()x。表二、數學甲非選擇題第一題考生作答情形統計內容份數百分比未答6210.1%有寫一些跟答案無關的內容，可看出不知該如何作答。294.8%1.（法一）列出p()x為三次多項式43270.7%32列出正確的三次多項式，如p()xa=xb+++xcxd。41467.8%列出三次多項式，但將a設為1，如3230.5%p()xxb=+++xcxd。列出三次多項式，但p()x的方程式寫錯，例如：3232(1)p()xa=++xbxc、p()xa=xb++xcx、3p()xa=xb++xc152.5%32(2)px()=+++=axbxcx

8、d03(3)p()xxp=++xq列出正確的三次多項式，且微分式正確。37962.0%列出正確的三次多項式，但微分式寫錯，例如：22(1