96指考数学甲、数学乙非选择题作答情形分析

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1、96指考數學甲、數學乙非選擇題作答情形分析編者案：96指考非選擇題評分標準說明系列報導，以數學考科壓軸，為此系列報導畫下句點。本期邀請本中心數學考科兩位學科研究員撰文，提供數學甲、數學乙的非選擇題評分標準說明及考生作答情形分析，請關心高中教育的各界參考。第一處朱惠文陳慧美96年指定科目考試數學甲與數學乙的考試題型可分為：選擇題、選填題與計算證明題。其中計算證明題主要是評量考生能否陳述解題時的論證過程，以及數學表達能力。因此，為瞭解學生於非選擇題上的推理過程，我們抽樣了數學甲800份、數學乙876份的非選擇題答案卷，來瞭解考生的解題概念與想法，並配合96年數學甲、

2、數學乙全體考生在非選擇題的得分情形來分析。下面將分別對96年數學甲與數學乙非選擇題部分，來說明學生解題時可能出現的作答類型。數學甲表一為91至96年數學甲非選擇題得零分的考生人數與人數百分比。除92年因為SARS取消非選擇題以外，今年非選擇題零分人數較94、95年多，但比91、93年少，表示部分學生對今年試題不知如何下筆作答。以下嘗試從試題主觀的數學內容，及考生客觀的答題反應，找出為何今年零分人數較多的原因，其中有關考生的作答情形，是從參與96年數學甲考生群中，隨機抽樣800份試卷進行分析。表一、91至96年數學甲非選擇題零分統計表年度人數人數百分比911158

3、522%92無931921133%9439107%9525825%96790117%1【第一題題目】32設fxx()=−−+6xx30，且ab,是方程式fx()0=的兩正根。(1)(3分)求解三次方程式fx()0=。o(2)(8分)若∆ABC中，AC==aBC,,b∠=ACB120，且D,E是AB上兩點，滿足BDB==CA,EAC，試求∆CDE的面積。【說明】本題為一題組，題幹先說明ab,是方程式fx()=0的兩正根，第1小題為解三次方程式fx()=0的根，第2小題則將第1小題所算出的根代入第2小題。第1小題可利用牛頓一次因式檢驗法，例如寫出可能的有理根為±±±

4、±13、2、、5、、、、±±±±6101530。得出其中一根後，再利用長除法或綜合除法得出其他的根；或是2將f()x進行因式分解，例如直接寫出(xxx+−28)(+15)，這兩個解法均為高一所學的基本知識及應用。表二為800份考生抽樣卷作答結果，約49%考生採用因式分解方法，2即寫出()xxx+−28()+15的方式作答，但有極少數考生是利用根與係數的關係求解，如列出abc++=6，這群考生可能誤以為此題與大考中心於96年5月上網的研究用試卷類似，所以才以根與係數觀念解答。從表二可看出約60%的考生能完全作對。分析考生的作答情形，發現採用因式分解的考生，約13%

5、作答錯誤，其中有些考2生未能分解完成，例如只寫出fx()=−(x33)(x−−x10)或因式分解錯誤，例如fx()(=−x235)(x−)(x+)，另外，有些只寫出fx()=(x+−−235)(x)(x)，但未寫出x=−2,3,5，或是只寫兩正根3,5，這些考生不是不會，而是未能完整表達整個解題過程。而採牛頓一次因式檢驗法的考生中，有些只寫出f(30)=，或是f()−=20、f()30=、f()50=，與只作答fx()=(x+−−235)(x)(x)犯了同樣的錯誤，即未明確寫出試題所要的答案。但清楚而且完整表達解題過程，是指考測驗目標，也是高中修習數學課程，應逐

6、步培養的能力之一。表二、第一大題之第(1)小題考生的作答情形統計表第(1)小題作答情形人數百分比未答15920%不知如何下筆作答或是亂答9412%利用有理根或牛頓一次因式檢驗法，例如f(5)=017322%利用因式分解或餘式定理39349%完全正確48060%2第2小題是利用第1小題算出的兩正根3,5，代入得AC=3、BC=5，或AC=5、BC=3，再求∆CDE的面積，此題的解法可分為三步驟：(1)求∆CAB的面積(2)利用餘弦定理求AB(3)求出DE第1步驟求∆CAB的面積，最直接的方法就是正弦定理，當然也可利用海龍公式。表三為分析800份考生作答結果，約22

7、%知道求∆CAB的面積，其中約83%的考生利用正弦定理作答。至於第2步驟利用餘弦定理得AB，由表三可知約39%的考生知道利用餘弦定理算出AB的長度，其中約9成可以完全作對。正弦、餘弦定理是高中三角函數課程必學的基本數學知識，觀察抽樣卷考生的作答情形，結果發現約16%的考生會用餘弦定理，但不會用正弦定理或是公式記錯，約3%的考生會用正弦定理，但不會用餘弦定理或公式記錯，顯示考生較熟悉餘弦定理甚於正弦定理，可能因為餘弦定理容易流於程序性知識，正弦定理則著重於觀念的應用。對照歷年試題，評量餘弦定理試題的答對（得分）率多數高於正弦定理。至於第3步驟則利用試題所給條件AE

8、=AC，BDB=C，與由