98 指考数学甲非选择题作答情形分析指考数学甲非

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1、大學入學考試中心選才電子報第183期編者按：選才電子報第180期「98指考各考科非選擇題評分標準說明」中，數學甲部分主要依據閱卷評分原則，針對部分考生為何明明答案正確，卻未能得到滿分甚至1分未得的情況加以說明。而本期之內容則是分析抽樣試卷（約六百五十份左右），整理考生作答情形，羅列出現的解法及錯誤作答類型，輔以統計值分析，以釐清部分考生作答之盲點。期許本文能提供教師教學及學生學習之參考，也歡迎關心高中數學教學之各界，不吝指教。98指考數學甲非選擇題作答情形分析第一處朱惠文數學甲非選擇題的測驗目標為評量考生是否瞭解題意，找出解題策略，經由正確的推理與論證，解決問題。因

2、此，在評閱考生試卷時所考量的是，考生能否將文字轉化成數學式，再由所學的知識中找出相關的數學策略作答，最後能完整且正確寫出答案者，方可得滿分，否則僅能得到部分分數。表1為93至98年數學甲非選擇題得零分及滿分的考生人數與人數百分比。今年非選擇題零分、滿分人數百分比分別為24%與3%，情形與96年很相似，但零分人數較多。這兩題出自選修數學(I)不等式，與選修數學(II)多項式微積分，符合數學甲的考科內容。以下嘗試從試題主觀的數學內容，及考生客觀的答題反應，找出作答錯誤的可能原因，以及解題時的迷思概念，其中有關考生的作答情形，是從98年數學甲考生群中，隨機抽樣632份試卷

3、進行分析，在解法中因部分考生所採用的解題方法不只一種，因此在百分比的總和上會超過100。至於各題的正確解法，請詳見選才電子報第180期「98指考各考科非選擇評分標準說明」或本中心出版的「98學年度指定科目考試試題與解析」。表表表1、、、93至至至98年數學甲非選擇題零分、、、滿分統計表、滿分統計表零分滿分年度人數百分比人數百分比98968724%1,2213%9712,23928%503012%967,90117%11132%952,5825%680.12%943,9107%12782%9319,21133%46278%【【【第一題【第一題題目】】】】2+2≤x

4、y4設R代表坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域，y≥1求函數x+y在區域R上的最大值與最小值。（13分）98/11/15試題統計值：：：項目平均得分率標準差統計值34%4.31說明：：：本題屬於選修數學(I)不等式單元，主要評量不等式的應用。試題內設R代表兩個不等式22x+y≤4所定義的區域，求函數x+y在區域R上的最大值與最小值。解題大致可分為三個步驟：y≥1步驟一：由試題所給不等式求出x的範圍為−3≤≤x3；y的範圍為1≤y≤2。或是依據題意畫出不等式區域，為一弓形（如圖1）。步驟二：觀察第一步所求的範圍或圖形，嘗試找出最大、最小值(2,2)發生

5、的地方，並以文字、圖形或數學語言說明推理過程(−3,1)(3,1)或理由。再從所學相關數學知識找出解題策略。例如利用線性規劃、柯西不等式、算術平均大於等於幾何平均、圓的參數式等。圖1步驟三：統整前兩個步驟，詳述推理過程，清楚寫出正確答案。第一步驟需畫出不等式區域，或直接由試題所給不等式，求出x、y的範圍。表2為分析632份考生答案卷，約50%能夠正確求出兩頂點(3,1)(−3,1)，約33%能正確畫出圖1的圖形。2222約14%誤認x+y≤4為一正方形（如圖2）或三角形區域（如圖3）。少數知道x+y=4的圖形為一圓形，但誤認不等式區域為一半圓形（如圖4）、圓形、或y

6、≤1的圖形，這些考生會連結圓的方程式與圖形，但不知道加上y≥1的條件後的區域。只有極少數能正確寫出x的範圍為−3≤≤x3；y的範圍為1≤≤y2。圖2圖3圖4第二步驟可選擇的方法有很多種。約80%利用線性規劃的概念解題，約26%能觀察所畫的圖形，結合目標函數x+y的掃動（即平行線法），推得當(xy,)=−(3,1)，x+y有最小值。當直線x+y=c與圓相切時，x+y有最大值。利用此方法者，可以文字或在圖形畫出直線x+y=c掃動的作答過程，說明最大、最小值發生點的原因。採柯西不等式、算幾不等式或圓的參數式解題的22222考生，除列出正確的不等式或和角公式，例如(x+y)

7、≤(x+y)(1+1)、πx+y=2cost+2sint=22sin(t+)等，還需加入x、y的範圍進行討論。以下分析此步驟無法得4分的原因。大學入學考試中心選才電子報第183期一一一、一、、、只有答案只有答案，，，沒有推理過程或理由，沒有推理過程或理由非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，才能得到分數。有些考生誤將目標函數x+y畫成x−y；或僅寫出當(xy,)=(2,2)時，函數x+y有最大值22，沒有說明最大值為22的理由。有些則只寫x+y=22，沒有說明直線x+y=22為圓的切線；或只在圖形上標出點