例谈中学数学中的有限与无限41406

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1、万方数据范围是(一∞，-1．二与该例类似的问题在各种期刊和教辅资料中均能见到，且解法与该例的“正确解答”相同．但笔者对上述解法存在不同看法．为方便说明现将有关教材中的内容摘录如下1．《初二代数》(人民教育出版社数学室编，1989年12月第二版)设口?的解集是石>b；2．不等式组f戈?的解集是口b2．全日制普通高级中学数学教科书(必修)第一册(上)PⅧ：设a，b是两个实数，而且口

2、的实数戈的集合叫做闭区间，表示为[17,，b]；(2)满足不等式t／,<戈

3、用哪种表示方法，可根据习惯或简明的原则来采用．由上述规定可知①{算I口<菇口．④空集是不能表示I．x

4、学313100李云日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗?星星有多少?两面镜子对照，镜子中有镜子，⋯，一共有多少面?文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率仃的末位小数”，盯是无理数，怎么有末位小数呢?这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于0．9=l对吗?其中绝大多数师生认为

5、“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．在新课标教学中，笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限

6、”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．1比较两个集合的元素个数人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页(2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷)阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出63万方数据来，而对于元素个数无限的集合，例如：A={1，2，⋯，n，⋯}，B=}2，4，⋯，2n。⋯t，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?”笔者不妨再问：“集合B是集合A的真子集吗?”我们都知道在有限集中，整体必定大于部分．但是无限集

7、中呢?其实，无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一．实际上，康托尔把正整数集的势(元素个数)称之为“阿列夫零”个，计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数．康托尔把集合的元素个数叫做基数，有限集合的基数是自然数，无限集合的基数叫超限数．康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集，但它们之间存在着一一对应关系，也就是说有比自然数集合更大的集合，有更大的超限数．康托尔还发现，任一线段上的点能与全直线上的点，与正方形内的点，与立方体内的点构成一一对应．他甚至证明，一条直线上的点能与n维空间的点构成一一

8、对应．这与我们关于大小的观念相矛盾，是按数学常识根本无法想象的，康托尔还证明了比实数集合更大的集合．今天，集合论已经成为整个数学的基础，以至于希尔伯特动情地说：“没