复变函数与积分变换ppt教学课件

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1、复变函数与积分变换XXX哈尔滨工业大学（威海）使用教材与参考教材使用教材：《复变函数与运算微积》孙振绮等编，机械工业出版社，1996参考教材：《复变函数与积分变换》苏变萍编，高等教育出版社复变函数论钟玉泉编高等教育出版社第一节复数区域和边界一、复数及其代数运算二、复数的几何表示三、复数的乘幂和方根四、平面和区域一、复数及其代数运算对虚数单位的规定:4虚数单位的特性:1.复数的定义6两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.即,则即,则7共轭复数:实部相同而虚部互为相反数的两

2、个复数称为共轭复数.82.复数的代数运算(1).两复数的和与差:(2).两复数的积:例1解9(3).两复数的商:复数的运算满足加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律加法对乘法的分配律10共轭复数的性质:11例2解12例3解13例4解14例5解15由此可见,在复数中无法定义大小关系.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.16三、小结本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点掌握复数的运算,它是本节课的重点.17二复数的几何表示1、复平面2、复数的

3、模4、复数的三种表示形式及相互转化3、复数的辐角5、复球面1.复平面192.复数的模(或绝对值)显然下列各式成立20利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.213.复数的辐角说明辐角不确定.22辐角主值的定义:大家想一想，辐角主值是否唯一？辐角主值怎么求？辐角怎么求？23242526利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍4.复数的三种表示及其相互转化27例3将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为28

4、指数表示式为故三角表示式为指数表示式为29故三角表示式为指数表示式为3031例5解(三角式)(指数式)32课堂练习33根据复数的几何意义，我们知道,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.下面给出几个具体实例34例6解所以它的复数形式的参数方程为353637例7求下列方程所表示的曲线:解38化简后得课堂练习39例8指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，并作图解40是角形域,是一原点为中心，为半径的圆的外部41表示到1,–1的距离之和为定值4的点的

5、轨迹,是椭圆,圆环形区域42注意通常在求轨迹或者画图时，可以先利用辐角的几何意义直接判断，往往比较简单。当该方法不适用时，可以将代入，从而将复条件(关于的)转化为关于的实条件，利用平面解析几何的知识进行判断课堂练习435、复球面(1)南极、北极的定义44球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.(2)复球面的定义我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是

6、复数无穷大的几何表示.45(3)扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.4647思考题是否任意复数都有辐角?48思考题答案否.它的模为零而辐角不确定.放映结束，按Esc退出.49LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,SwitzerlandDied:18Sept1783inStPetersbur

7、g,Russia欧拉资料50