关联结构(copula)在信用风险管理之运用

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1、關聯結構(copula)在信用風險管理之運用本中心風險研究小組賴柏志一、簡介隨著BaselⅡ在六月底的正式公佈，有關信用風險模型的建置及管理的專業技巧，已成為金融機構十分重要的議題。在過去，主要著重的議題是先衡量每一授信戶(obligor)的個別風險，再予以加總。而近年來有關如何衡量投資組合(portfolio)整體的風險，則已成為最熱門的課題。在衡量投資組合之信用風險時，金融監理機關及風險管理人員所面臨的一個重要但棘手的問題為：如何決定並估計投資組合內各項信用資產(如債券、貸款、信用衍生性商品等)的交易對手間，其信用評等及違約機率之聯合變化(jointratingchange)。

2、RiskMetrics的CreditManager及KMV的PortfolioManager信用模型，均是在假設信用評等及違約機率之聯合變化服從多變量常態分配的前提下，進行投資組合信用風險的評量。然而，實證研究顯示在財務及保險領域中很少真正是服從多變量常態分配的資料(Embrechtsetal.1999)。除此之外，由於總體經濟景氣循環會使得違約轉置矩陣(transitionmatrix)產生時間序列行為之效應(Coleman2002,Bangiaetal2000)，多變量常態分配的假設將低估巨大事件(如金融風暴)或國際經濟不景氣(如90年代初期)時的股價同時下跌及多個交易對手同時

3、發生違約的機率，並因而低估整體投資組合所面臨的信用風險。在過去若欲配適出多變量的聯合機率分配，在相關的理論推導及計算上極為複雜，尤其當投資組合標的個數很大時，欲準確估算出聯合機率分配幾乎是不可能的，通常的處理方式為假設標的資產報酬率服從多變量常態分配，並據以進行模擬工作。本文所介紹的關聯結構(copula)方法，最早由Sklar(1959)以法文所提出，但一直到1999年才開始被應用在財務領域中，近來相關的研究應用成長速度非常快，利用此方法可將上述的問題簡化處理，提供一種新的思維，以配適出更符合實務的聯合機率分配，進而更準確地衡量出銀行本身所可能面臨的風險。本文除了第一節的簡介外，

4、將在第二節介紹copula方法的理論基礎，關於copula運用至信用風險模型的步驟，則在第三節中作一說明，第四節中我們利用台灣資料進行實證上的研究，最後，則針對此方法未來可能的發展作一討論。二、Copula方法之介紹定義2.1：(Copula函數之定義)＊謹在此特別感謝東吳大學商用數學系洪明欽教授細心指導完成此份研究報告。Copula是一個由多維變數映射至均勻分配(Uniformdistribution)的函數，符號以表示，滿足以下三個條件：1.；2.C是有著地(grounded)且遞增的函數；3.C的所有邊際函數滿足：；假如是單變量的累積分配函數，則是表示一多變量的累積分配函數其

5、邊際函數為。由以上定義可以了解Copula是一個聯合機率分配的函數，在實際運用上，下述的Sklar’s定理，可謂是Copula最重要的定理。定理2.1：(Sklar’sTheorem)若是一個n維的累積機率分配函數，其邊際函數是連續函數，則我們可以找到唯一的Copula使得：……………(1)利用上述定理我們能將一個多維的分配，拆成單維的邊際函數及相關性的結構(dependentstructure)兩個部分，實際的推導方式如下：..(2)其中為的機率密度函數,為Copula的密度函數公式(2)顯示：我們可將一個聯合機率密度函數拆解成兩部分，前一部分為Copula的密度函數，用以規範變

6、數之間的關聯結構，即決定變數間共同移動(co-movement）的關係，可視為相關性結構部分，後一部分則為單純的邊際機率密度函數之乘積。也就是說，我們可以先決定各個個別風險變數的(不同)邊際分配函數,i=1,2,…,n，並分別進行其個別邊際分配函數之配適及參數之估計(這部份可以利用一般的統計方法：動差法、最大概似估計法…)後，再另外配適出合適的相關性結構(Copula函數)，即可求得其聯合機率分配。利用此一先將邊際分配及關聯結構分開個別處理，再加以整合的過程，使我們能更有彈性且更有效的探討各變數間的共同移動關係，並進而估得更合適的聯合機率分配，以作為投資組合風險評估或商品定價的基礎

7、。在極端的情況下，當各變數之間獨立時，可以得到。在本文中，我們使用兩種最常用的Copula函數，Normal-copula及t-copula兩種函數，簡單介紹如下：所謂的Normal-copula即為多元常態分配下的copula函數，其定義為：假設是多元常態分配，若且唯若(a)其邊際函數皆為常態分配(b)存在唯一的Copula函數(即Normal-copula)，使得…………………………………(3)其中：標準的多元常態分配，其相關矩陣為則是單維標準常態分配的反函數當n