向量的内积教学设计

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1、数学基础模块　下册7.4.1向量的内积【教学目标】1.理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2.掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3.通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入F一个物体在力F的作

2、用下产生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？qs力做的功为W＝∣s∣∣F∣cosθ，其中q是F与s的夹角．∣F∣cosθ是F在物体前进方向上分量的大小．∣s∣∣F∣cosθ称为位移s与力向量F的内积．教师提出问题．并简单讲解什么是功，让学生对功有个基本了解．师生共同计算这个力所做的功．我们知道，功只有大小，没有方向，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？引出课题．此引例体现了数学知识与其他学科的联系，让学生了解所学内容在实际生活中的具体应用．新课1

3、．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB叫向量a与b的夹角．记作‹a，b›，规定0°≤‹a，b›≤180°．说明：(1)当‹a，b›＝0°时，a与b同向；(2)当‹a，b›＝180°时，a与b反向；(3)当‹a，b›＝90°时，a与b垂直，记做a⊥b；(4)学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：（1）当‹a，b›＝0°和180º时a与b的方向是怎样的？（2）当‹a，b›＝90°时，a与b的方向又是怎样的？师生共同总结，师重点强调说明（4）．此问题是为本课重点向量的内积概念而准备

4、．通过问题的详细探究给出概念，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．数学基础模块　下册新课在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．2．向量的内积已知非零向量a与b，‹a，b›为两向量的夹角，则数量

5、a

6、

7、b

8、cos‹a，b›叫做a与b的内积．记作a·b＝

9、a

10、

11、b

12、cos‹a，b›．规定：0向量与任何向量的内积为0．说明：（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos‹a，b›的符号所决定；（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，

13、也不能用“×”代替.例1求

14、a

15、＝5，

16、b

17、＝4，‹a，b›＝120°．求a·b．解由已知条件得a·b＝

18、a

19、

20、b

21、cos‹a，b›＝5×4×cos120°＝－10．3．向量的内积的性质设a，b为两个非零向量，e是单位向量，则：（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos‹a，e›；（2）a^bÛa·b＝0；（3）a·a＝

22、a

23、2或

24、a

25、＝；（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．4．向量的内积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋

26、b·c．教师直接给出向量内积的基本表达式．教师引导学生学习向量内积的概念．学生阅读课本中向量内积的概念，在理解的基础上记忆向量内积的概念．教师总结向量内积的含义，以及公式中的注意事项．学生讨论求解．学生阅读课本中向量内积的性质，在理解的基础上记忆向量内积的性质．教师对于每一个性质都要引领学生从向量内积的表达式入手，仔细推导．教师引导学生学习向量内积的运算律．让学生明确内积满足交换律在本节中首次引入了抽象的向量内积，学生往往只接受具体的基本表达式，而不能接受a·b的含义，所以应让学生从符号的含义开始认识，这部

27、分教师必须讲解清楚．求内积题目不必过难，重点在理解内积的概念．两向量的内积是两向量乘法的一种，是学生以前所未接触过的，与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法则、运算律都要重新推导数学基础模块　下册新课例2求证：（1）(a＋b)·(a－b)＝∣a∣2－∣b∣2；（2）∣a＋b∣2＋∣a－b∣2＝2(∣a∣2－∣b∣2)．证明（1）显然(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝∣a∣2－∣b∣2；（2）因为∣a＋b∣2＝(a＋b)·(a＋b)＝∣a∣2＋2a·b＋∣b∣2，∣

28、a－b∣2＝(a－b)·(a－b)＝∣a∣2－2a·b＋∣b∣2，所以∣a＋b∣2＋∣a－b∣2＝2(∣a∣2－∣b∣2)．练习1．已知

29、a

30、，

31、b

32、，‹a，b›，求a·b：(1)

33、a

34、＝7，

35、b

36、＝12，‹a，b›＝120°；(2)

37、a

38、＝8，

39、b

40、＝4，‹a，b›＝π；2．已知

41、a

42、，

43、b

44、，a·b，求‹a，b›：(1)

45、a

46、

47、b

48、＝16，a·b＝－8；(2)

49、a

50、

51、b

52、＝12，a·b＝6．和分配律，不满足结