向量的内积及其运算

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1、向量的内积及其运算向量的内积已知两个非零向量和，作，，则就叫做向量与的夹角．记作．我们规定，．当时，我们说向量与垂直，记作．我们把的长与在方向上正射影的数量的乘积叫做向量与的内积．记作．即　　　　　(1)由上述定义可知，两个向量与的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零．根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质：(1)如果是单位向量，则；(2)；(3)；(4)；(5)．以上性质的证明留给同学作为练习．例1　已知，，，求．解：练习A1．已知，，，求．(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．2．已知，，求．(1)，；(2)

2、，；(3)，；(4)，．练习B1．已知，在方向上的正射影数量如下，求．(1)6；(2)-6；(3)8；(4)-8．2．在直角坐标系内，已知向量与轴和轴的正向的夹角分别为和，求在轴、轴上正射影的数量．向量内积运算律向量的内积运算满足如下运算律：(1)；(2)；(3)．例2求证：(1)；(2)；(3)．证明：(1)(2)(3)由(2)式解出，即得．例3求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：是菱形，和是它的两条对角线．求证：．证明：．．．．练习A1．已知，，，求．2．已知，，，求,．3．在中，已知，，，求．练习B1．在中，已知，，，求的长．2．对

3、任意向量、，求证：．向量内积的坐标运算在直角坐标平面内，已知、分别为轴、轴的基向量，，，则．　　　　(2)证明：因为所以．例5已知，．求，，，．解：，，．例6已知：点、、．求证：．证明：．注两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的内积等于零，因此可通过计算两向量的内积来证明两条直线或两个向量垂直．练习A1．已知向量的坐标，求(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．2．已知：，，．求证：．练习B1．已知向量求证．2．已知向量求的值，使与垂直．3．已知点、，点在轴上，且，求点的坐标．4．已知三角形的三个顶点是、、，求和的度数．