平面向量内积的坐标运算

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1、高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）王新敞课题：平面向量数量积的坐标表示教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ

2、，则数量

3、

4、

5、

6、cosq叫与的数量积，记作×，即有×=

7、

8、

9、

10、cosq，（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为03．向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影

11、

12、cosq的乘积4．两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1°×=×=

13、

14、cosq；2°^Û×=03°当与同向时，×=

15、

16、

17、

18、；当与反向时，×=-

19、

20、

21、

22、特别的×=

23、

24、2或新疆奎屯市一中第6页（共6页）高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）王新敞4°cosq=；5°

25、×

26、≤

27、

28、

29、

30、5．平面向量数量积的运算律交换律：×=×数乘结

31、合律：()×=(×)=×()分配律：(+)×=×+×二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，试用和的坐标表示设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即2.平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设，，则新疆奎屯市一中第6页（共6页）高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）王新敞4.两向量夹角的余弦（）cosq=三、讲解范例：例1设=(5,

32、-7)，=(-6,-4)，求×解：=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2例2已知(1,2)，(2,3)，(-2,5)，求证：△ABC是直角三角形证明：∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3)∴×=1×(-3)+1×3=0∴^∴△ABC是直角三角形例3已知=(3,-1)，=(1,2)，求满足×=9与×=-4的向量解：设=(t,s)，由∴=(2,-3)例4已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由＝（１，），＝（＋１，

33、－１）有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２．记与的夹角为θ，则cosθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝新疆奎屯市一中第6页（共6页）高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）王新敞评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△ABC，使Ð=90°，求点和向量的坐标解：设点坐标(x,y)，则=(x,y)，=(x-5,y-2)∵^∴x(x-5)+y(y-2)=0即：x2+y2-5x-2y=0又∵

34、

35、=

36、

37、∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2即：10x+4y=29由∴点坐标或；

38、=或例6在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值解：当=90°时，×=0，∴2×1+3×k=0∴k=当=90°时，×=0，=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∴2×(-1)+3×(k-3)=0∴k=当C=90°时，×=0，∴-1+k(k-3)=0∴k=四、课堂练习：1.若=(-4,3),=(5,6),则3

39、

40、２－４＝（）A.23B.57C.63D.832.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知=(4,3),向量

41、是垂直的单位向量，则等于（）新疆奎屯市一中第6页（共6页）高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）王新敞A.或B.或C.或D.或4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)=.5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x=.6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为.参考答案：1.D2.A3.D4.–75.6.45°五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（）A.

42、B.C.D.2.已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞B.λ≥C.λ＜D.λ≤3.给定两个向量=(3,4),