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1、第七章 平面向量7.3向量的内积创设情境 兴趣导入Fs图7—21O如图7-21所示,水平地面上有一辆车,某人用100N的力,角的方向拉小车,使小车前进了100m.朝着与水平线成那么,这个人做了多少功?做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.力F是水平方向的力W=|F|cos30°·|s|=100×·10=500与垂直方向的力的和,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s,即动脑思考 探索新知W=|F|cos30°·|s|=100×·10=500这里,力F与位移s都是向量,而功W是一个
2、数量,它等于由两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积,W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量,又叫做数量积.BAOab如图,设有两个非零向量a,b,作由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与向量b的夹角,记作.两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·b,即a·b=
3、a
4、
5、b
6、cos(7.10)由内积的定义可知a·0=0,0·a=0.动脑思考 探索新知动脑思考 探索新知由内积的定义可以得到下面几个重要结果:当a=b时,有=0,所以a·a
7、=
8、a
9、
10、a
11、=
12、a
13、2,即
14、a
15、=cos=当=0时,a·b=
16、a
17、
18、b
19、;当=时,a·b=−
20、a
21、
22、b
23、.a·b=0ab.对非零向量a,b,有动脑思考 探索新知可以验证,向量的内积满足下面的运算律:a·b=b·a.(a+b)·c=a·c+b·c.a·(b·c)≠(a·b)·c.一般地,向量的内积不满足结合律,即巩固知识 典型例题例1已知
24、a
25、=3,
26、b
27、=2,=60°,求a·b.解a·b=
28、a
29、
30、b
31、cos=3×2×cos60°=3.巩固知识 典型例题
32、例2已知
33、a
34、=
35、b
36、=,a·b=,求.解cos=由于0≤≤180°,所以=运用知识 强化练习1.已知
37、a
38、=7,
39、b
40、=4,a和b的夹角为60°,求a·b.2.已知a·a=9,求
41、a
42、.3.已知
43、a
44、=2,
45、b
46、=3,=30°,求(2a+b)·b.动脑思考 探索新知设平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),由于i⊥j,故i·j=0,又
47、i
48、=
49、j
50、=1,所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i•i+x1y2i•j+x2y1
51、i•j+y1y2j•j=x1x2
52、j
53、2+y1y2
54、j
55、2=x1x2+y1y2.这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2(7.11)设a=(x,y),则,即(7.12)动脑思考 探索新知cos=(7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a⊥ba·b=0,由公式(7.11)可知a·b=0x1x2+y1y2=0.因此a⊥bx1x2+y1y2=0.(7.14)由平面向量内积的定义可以得到,当a,b是非零向量时,巩固知识 典型例题例3求下列
56、向量的内积:(1)a=(2,−3),b=(1,3);(2)a=(2,−1),b=(1,2);(3)a=(4,2),b=(−2,−3).解(1)a·b=2×1+(−3)×3=−7;(2)a·b=2×1+(−1)×2=0;(3)a·b=2×(−2)+2×(−3)=−14.巩固知识 典型例题例4已知a=(−1,2),b=(−3,1).求a·b,
57、a
58、,
59、b
60、,.解a·b=(−1)(−3)+2×1=5.
61、a
62、=
63、b
64、=cos=所以=巩固知识 典型例题例5判断下列各组向量是否互相垂直
65、:(1)a=(−2,3),b=(6,4);(2)a=(0,−1),b=(1,−2).解(1)因为a·b=(−2)×6+3×4=0,所以a⊥b.(2)因为a·b=0×1+(−1)×(−2)=2,所以a与b不垂直.运用知识 强化练习1.已知a=(5,−4),b=(2,3),求a·b.2.已知a=(2,−3),b=(3,−4),c=(−1,3),求a·(b+c).积叫做向量a与向量b的内积,记作a·b.两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之平面向量内积的概念?自我反思 目标检测学习行为学习效果学习方法自我反思
66、 目标检测作业读书部分:阅读教材相关章节实践调查:试着编写一道关于向量书面作业:教材习题7.3A组(必做)内积的问题并解答.教材习题7.3B组(选做)继续探索 活动探究