数学转化的思想方法的认识及应用

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1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区数学转化的思想方法的认识及应用　　在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法，我们称之为“转化的思想方法”．解题的过程就是“转化”过程．“转化”是解数学题的重要思想方法之一．转化的思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决．其形式如下图：　转化具有多向性、层次性和重复性的特点．为了实现有效的转化既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问

2、题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是转化的多向性．转化原则既可以应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性．而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性．　转化思想方法包含三个基本要素，即转化的对象、转化的目标和转化的方法．　　转化思想方法应遵循以下五项原则：　　（1）熟悉化原则．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．　　（2）简单化原则．将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决

3、复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．　　（3）和谐化原则．转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．　　（4）直观化原则．将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．　　（5）正难则反原则．当问题正面讨论遇到问题时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性．　　下面，本文将以高考或竞赛试题为例，着重介绍如何利用转化思想方法实现问题的解决．　　1　借助函数进行转化　　有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经仔细分析

4、后，可以找到一个函数，通过对此函数的研究，运用函数的有关性质，打通解题的思路．　　例1　已知关于x的实系数二次方程ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝0有两个实根α、β，证明：（1）如果│α│＜2，│β│＜2，那么2│ａ│＜4＋ｂ，且│ｂ│＜4；　　（2）如果2│ａ│＜4＋ｂ，且│ｂ│＜4，那么│α│＜2，│β│＜2．　　分析：这个题目虽然是不等式的形式，但实际却是考查二次函数的性质的综合题．由于二次方程ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝0的两个实根为二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ2＋ａｘ＋ｂ的图象与x轴交点的横坐标，因此本题可通过研究二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ2＋ａｘ＋ｂ的图象获解．　　证明：构造二次函数ｆ（

5、ｘ）＝ｘ2＋ａｘ＋ｂ，由韦达定理│ｂ│＝│αβ│＝│α│·│β│．若有│α│＜2，│β│＜2，则│ｂ│＜2×2＝4，又由二次函数的性质知ｆ（±2）＞0，即4＋2ａ＋ｂ＞0，－（4＋ｂ）＜2ａ＜4＋ｂ，4－2ａ＋ｂ＞0taoti.tl100.com你的首选资源互助社区　　∴　2│ａ│＜4＋ｂ．反之，若2│ａ│＜4＋ｂ，则有4＋2ａ＋ｂ＞0，4－2ａ＋ｂ＞0，即ｆ（2）＞0且ｆ（－2）＞0，由ｆ（ｘ）＝ｘ2＋ａｘ＋ｂ的图象可知，ｆ（ｘ）＝0的每个实根或者均在区间（－∞，－2）之内，或者均在区间（－2，2）之内，或者均在区间（2，＋∞）之内．　　若两根α、β均在区

6、间（－∞，－2）之内，或者均在区间（2，＋∞）之内，则有│α│＞2，│β│＞2，而│ｂ│＝│αβ│＞4，这与│ｂ│＜4矛盾．∴　α、β均在区间（－2，2）之内，即│α│＜2，│β│＜2．　　练习：在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ＡＣＢ取得最大值．（1996年全国高考试题）　　2　借助方程（组）进行转化　　方程（组）是数学解题中的一个极为重要的工具，在解决某些数学问题时，可直接运用方程的某些性质，或可先设定一些未知数，根据题设本身各数量之间的制约关系，列出方程，求得未知数．所设未

7、知数沟通了变量之间的关系，使原问题转化为我们熟知的问题．　　例2　已知两点Ｍ（1，（5／4））、Ｎ（－4，－（5／4）），给出下列曲线方程：①4ｘ＋2ｙ－1＝0；②ｘ2＋ｙ2＝3；③（ｘ2／2）＋ｙ2＝1；④（ｘ2／2）－ｙ2＝1　　在曲线上存在点P满足│ＭＰ│＝│ＮＰ│的所有曲线的方程是（）．　　Ａ．①、③Ｂ．②、④Ｃ．①、②、③Ｄ．②、③、④　　分析：从题意知，点P在线段MN的垂直平分线上，于是用转化的思想，把命题转化为ＭＮ的垂直平分线方程与下列曲线方程组成的方程组是否有实数解，如有实数解，说明在曲线上存在一点P，满足│ＭＰ│＝│ＮＰ│，如没

8、有实数解，即在曲线上不存在一点P，即│ＭＰ│≠│ＮＰ