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时间:2019-02-28
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1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区数学转化的思想方法的认识及应用 在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化成一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法,我们称之为“转化的思想方法”.解题的过程就是“转化”过程.“转化”是解数学题的重要思想方法之一.转化的思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化,以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决.其形式如下图: 转化具有多向性、层次性和重复性的特点.为了实现有效的转化既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论;既可以变换问
2、题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是转化的多向性.转化原则既可以应用于沟通数学各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这是转化的层次性.而解决问题中可以多次地使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用的重复性. 转化思想方法包含三个基本要素,即转化的对象、转化的目标和转化的方法. 转化思想方法应遵循以下五项原则: (1)熟悉化原则.将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2)简单化原则.将复杂问题转化为简单的问题,通过对简单问题的解决,达到解决
3、复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据. (3)和谐化原则.转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)直观化原则.将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决. (5)正难则反原则.当问题正面讨论遇到问题时,应想到考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获得解决,或证明问题的可能性. 下面,本文将以高考或竞赛试题为例,着重介绍如何利用转化思想方法实现问题的解决. 1 借助函数进行转化 有些数学问题,本身并无明显的函数关系,但经仔细分析
4、后,可以找到一个函数,通过对此函数的研究,运用函数的有关性质,打通解题的思路. 例1 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实根α、β,证明:(1)如果│α│<2,│β│<2,那么2│a│<4+b,且│b│<4; (2)如果2│a│<4+b,且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2. 分析:这个题目虽然是不等式的形式,但实际却是考查二次函数的性质的综合题.由于二次方程x2+ax+b=0的两个实根为二次函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴交点的横坐标,因此本题可通过研究二次函数f(x)=x2+ax+b的图象获解. 证明:构造二次函数f(
5、x)=x2+ax+b,由韦达定理│b│=│αβ│=│α│·│β│.若有│α│<2,│β│<2,则│b│<2×2=4,又由二次函数的性质知f(±2)>0,即4+2a+b>0,-(4+b)<2a<4+b,4-2a+b>0taoti.tl100.com你的首选资源互助社区 ∴ 2│a│<4+b.反之,若2│a│<4+b,则有4+2a+b>0,4-2a+b>0,即f(2)>0且f(-2)>0,由f(x)=x2+ax+b的图象可知,f(x)=0的每个实根或者均在区间(-∞,-2)之内,或者均在区间(-2,2)之内,或者均在区间(2,+∞)之内. 若两根α、β均在区
6、间(-∞,-2)之内,或者均在区间(2,+∞)之内,则有│α│>2,│β│>2,而│b│=│αβ│>4,这与│b│<4矛盾.∴ α、β均在区间(-2,2)之内,即│α│<2,│β│<2. 练习:在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.(1996年全国高考试题) 2 借助方程(组)进行转化 方程(组)是数学解题中的一个极为重要的工具,在解决某些数学问题时,可直接运用方程的某些性质,或可先设定一些未知数,根据题设本身各数量之间的制约关系,列出方程,求得未知数.所设未
7、知数沟通了变量之间的关系,使原问题转化为我们熟知的问题. 例2 已知两点M(1,(5/4))、N(-4,-(5/4)),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③(x2/2)+y2=1;④(x2/2)-y2=1 在曲线上存在点P满足│MP│=│NP│的所有曲线的方程是(). A.①、③B.②、④C.①、②、③D.②、③、④ 分析:从题意知,点P在线段MN的垂直平分线上,于是用转化的思想,把命题转化为MN的垂直平分线方程与下列曲线方程组成的方程组是否有实数解,如有实数解,说明在曲线上存在一点P,满足│MP│=│NP│,如没
8、有实数解,即在曲线上不存在一点P,即│MP│≠│NP
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