广义连续统假设的一个等价命题

《广义连续统假设的一个等价命题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、广义连续统假设的一个等价命题陈守仁摘要：本文基用于康托集合论的基本概念，提出并证明广义连续统假设的一个等价命题：任意可数集N(1)的任一次幂集P(N)k(k＞1)中的任一元素都是A类元素（幂集和A类元素的含义见文中“预备知识”）。关键词：广义连续统假设，等价命题，基数（势），羃集，不可判定。一、预备知识本文假设读者对集合的基本概念，包括集合的基数（势）等都已清楚，只把羃集[1]的概念及康托的羃集基数定理扼要地介绍一下，因为此概念是本文的关键。设M为任一集合，M的一切子集所构成的集合称为M的羃集，用表示。根据康托证明的结果，，（表示集合M的基数或势

2、），这就是羃集基数定理。一个集合可以有任意多次羃集，比如说可数集N，我们用表示N的第k次羃集，（这里k是记号，不要把k看成指数）。根据羃集基数定理，可数集N各次羃集的基数构成递增序列如下：(k≥0)从该序列看出，除了可数集N和不可数集外，其他的无限集还有无穷多个，可数集N是基数最小的无限集，比不可数集基数还大的无限集有无穷多个。本文规定：任意可数集N的任意相邻两次幂集的基数差一级，比如说比大一级，后面的定义1和定义2中所说的正整数级和正小数级，都以此为标准，那里所说的“一级”，即指N的相邻两次幂集的基数之差；另外还规定任意有限集的基数比任意可数集

3、的基数低一级。在N的任一次羃集中，当k≥1时，的元素都是集合。例如，根据羃集的定义，其元素都是N的子集。N的子集包括有限子集（用n1表示）和可数子集（用n2表示）两种，由于比低一级（本文规定），因此比低两级，又因＝，故比低一级[1]。由此可见，中元素的基数都比低。下面分两种情况讨论：定义1：设为任意可数集N的任一次羃集，为其任一元素，若比低一级的正整数倍，就称比低正整数级，此时称为的A类元素。如N的有限子集和可数子集都是的A类元素。定义2：设为任意可数集N的任一次羃集，为其任一元素，若比低一级的正小数（指一个自然数加上一个正的纯小数）倍，就称比低

4、正小数级，此时称为的B类元素。此类元素为笔者假想的，举不出实例来。有了这些预备知识，就可以对广义连续统假设进行探讨了。二、命题介绍连续统假设这个命题，是在十九世纪八十年代，由德国数学家康托提出来的，分狭义和广义两种。所谓狭义的连续统假设，就是说不存在介于a（可数集的势）和c（不可数集的势）之间的势；所谓广义的连续统假设，就是说在任意可数集N的任意相邻的两次羃集和之间不存在具有中间势的集合，也就是说，不存在一个集合，其基数满足不等式<<[2]（k为任意非负整数）。自从此命题提出以来，引起了很多数学家的兴趣，但从未有人将其证出或否定。1900年希尔伯

5、特做题为“数学问题”的演说时，将此命题列为23个难题的第一个。从此以后，此命题引起更多人的兴趣，但从未有人将其解决。到了20世纪中叶，著名数学家哥德尔和科恩证明此命题在集合论范围内是“不可判定”的[2]，也就是说，此命题既不能证出，也不能否定。笔者对此命题探讨已久，现提出此命题的一个等价命题及其证明。三、广义连续统假设的探讨引理一设A、B为任意两个集合，若，则≥。证法一：设为B中任一元素，由于，所以。但A中至少有一元素，否则就有，与矛盾，这时A中元素不少于B中元素，即≥。证法二：假设≥不成立，则只有一种可能，这时B中至少有一元素，否则B中元素就不

6、多于A中元素,和A＜B矛盾，但XB∉A又和的假设矛盾，因此不能成立，则只能是≥。引理二若A和B都是无界集合（无上界且无下界），且集合A处处稠密无空隙，若，则。证：若不成立，则必有以下三种可能：（一），(二)，（三）。兹分别讨论如下：（一）若，根据引理一，就有≤，这和的假设矛盾，因此不成立。（二）若，则及同时成立，根据引理一，≤及≥也同时成立，又根据康托¾¾伯恩斯坦定理[1]，就有，这也和的假设矛盾，所以也不能成立。（三）若，但因假设集合A处处稠密无空隙，故此种可能不存在。在此引理中，集合无界（无上界及下界）及集合A处处稠密无空隙这两个条件是不可缺

7、少的，否则引理二就不成立。请看以下三个反例：例1、设集合A为1至100的所有自然数，集合B为101至500的所有自然数，显然，但（）。由于这两个集合是有界集合，不满足引理二中集合无界这一条件，因此引理二在此例中不成立。例2、设集合A为小于0的所有有理数，集合B为大于0的所有实数，很明显，但不成立（）。由于集合A有上界无下界，集合B有下界无上界，不满足引理二中集合无上界且无下界这一条件，所以引理二在此例中不成立。例3、设集合A为全体无理数，集合B为全体有理数，显然，但（）。因为集合A不满足引理二中处处稠密无空隙这一条件，因此引理二在此例中不成立。如

8、果集合A为全体实数，则，引理二就能成立。在任意可数集N的任一次羃集中，当k>1时，的基数就大于实数集的基数，即大于，就能保证集合（k>1