艾森斯坦因判别法的一个等价命题.pdf

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1、第13卷第1期黄河水利职业技术学院学报Vol.13No.12001年3月JournalofYellowRiverConservancyTechnicalInstituteMar.2001艾森斯坦因判别法的一个等价命题12吴春花,唐仙芝(1.洛阳市财会学校,河南洛阳471000;2.黄河水利职业技术学院,河南开封475001)摘要:判定整系数多项式的不可约性,艾森斯坦因判别法[1](以下简称艾法1!)是高等代数中给出的主要方法之一。但艾法1!中所给条件只是一个充分条件,故有些多项式用艾法1!不能判别其是否可约。本文给出了艾森斯坦因

2、判别法的一个等价命题(以下简称艾法2!),弥补了艾法1!的一些不足。关键词:整系数多项式;不可约;艾森斯坦因判别法;等价命题中图分类号:015文献标识码:A文章编号:1008-486X(2001)01-0026-02AnEquivalentPropositionofEisensteinDiscriminationMethodWUChun
huaTANGXian
zhiAbstract:EisenteinDiscriminationMethod1todecidetheirreducibilityofthemu

3、ltinomialpolynomialofintegralco
efficientsisoneofthemainmethodsofferedinhigheralgebra.AstheconditiongiveninEisenteinMethod1isonlyasufficientone,whethersomemultinomialpolynomialsareirreducibleornotcan∀tbedecidedbythismethod.Theequivalentpropositiongivenheremakesuptheweakne

4、ssofEisensteinMethod1.Keywords:multinomialpolynomialofintegralcoefficients;irreducibility;EisensteinDiscriminationMethod;equiva
lentpropositionkk-1f1(x)=bkx+bk-1x+#+b01引言mm-1f2(x)=cmx+cm-1x+#+c0艾森斯坦因判别法判定整系数多项式的不可其中k

5、x+#+b0)(cmx+m-1可约的一种新的方法。cm-1x+#+c0)..................(1)将(1)式右边展开,由多项式的相等有:2命题及证明nn-1an=bkcm定理(艾法2)设f(x)=anx+an-1x+#+a0an-1=bkcm-1+bk-1cm(a0∃0)是一整系数多项式,如果有一素数P,使an-2=bkcm-2+bk-1cm-1+bk-2cm..................得an-k=bkcm-k+#+b0cm............(2)(1)p

6、/a0..............a0=b

7、0c0(2)p

8、a1,a2,#an2/由(2)的第一个等式,因为p

9、an(3)p

10、an所以p

11、bk或p

12、cm则f(x)在有理数域上不可约。2

13、/又因为pan,所以p

14、bk与p

15、cm不能同时成证:<用反证法>立,现在不妨设p

16、b/假设f(x)是可约的。则由可约性定理存在k但p

17、cmf1(x)、f2(x)再由(2)的第二个等式,因为p

18、an-1,且p

19、bk收稿日期:2000-06-14作者简介:吴春花(1964
),女(朝鲜族),吉林省延吉市人,讲师,从事数学教学工作;唐仙芝(1967
),女,河南开封人,讲师,从事数学教学工作。第1期吴春花

20、等:艾森斯坦因判别法的一个等价命题27所以p

21、bk-1cm这与g(x)不可约相矛盾。因为p

22、/c故f(x)是不可约的。m,所以p

23、bk-1<2>用艾法1!证明多项式是不可约的,用同理,依次类推,得到p

24、bk,#,b1艾法2!证明也是不可约的。(2)中的第k+1式:nn-1设f(x)=anx+an-1x+#+a0,存在p(素an-k=bkcm-k+#+b1cm-1+b0cm/2/数),使得p

25、an,p

26、a0、a1、#an,p

27、a0。由艾法1!知f则p

28、b0cm/(x)是不可约的,因为p

29、cm,所以p

30、b0现在艾法2!证明其也为不可约,作多项

31、式函(若k>m,则k-m=t,前七项为0,an-k=bmc0n1+#+b0cm)数g(x)=xf()x由(2)最后一个等式a0=b0c0知:g(x)=ann+an-1x+#+a0xb0

32、a0,